浅淡用函数模型解数学应用问题所谓函数模型即用函数知识对我们日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产出最大、效益最好、用料最省等实际应用问题进行归纳加工，建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数的方法进行求解。通常可以分为以下五种模型：一、一次函数或二次函数模型【例1】经营甲、乙两种商品，所获得的利润依次为P和Q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式P=ax，Q=2b（a、b为正常数），今有C万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少万元？共能获得最大利润是多少万元？分析：本例要求获得最大利润,是一个最大值问题,因此可用函数模型,关键是寻找各种量的关系,探求目标函数,即利润函数,其主要数量关系为:总投入C=对甲的投入+对乙的投入;总利润y=经营甲的利润+经营乙的利润=P+Q【解】:对甲种商品的投入x万元(a≤x≤c),则对乙种商品的投入为C－x万元.所获得的利润为y=ax+2b(0≤x≤C),令=t(0≤t≤),则x=C－t2,∴y=－at2+2bt+ca=－a(t－)2+ac+①当≤时,当t=,即x=c－时,ymax=ac+;②当>时当t=,即x=0时,ymax=2b;综上所述:①当≤时,对甲的投入c－万元,对乙的投入万元,最大利润为ac+万元②当>时,对甲不投入,对乙投入c万元,最大利润为2b万元说明:本例的背景材料是营销活动中最为基本的数量关系模式,将这种关系转化为数学关系式,问题即可解决.在解决这一问题时,我们先用代换法将目标函数代换成二次函数,再用配方法求二次函数的最值。二、“y=Axp+”型函数模型【例2】(2001年文科高考第21题)设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为(<1),画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白。怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？分析：本例要求最小纸张面积,是一个最小值问题,因此可用函数模型,关键是寻找纸张面积S关于画面的宽与高的函数关系式。【解】：设画面高为xcm，宽为xcm，则x2=4840。设纸张面积为S，有S=（x+16）（x+10）=x2+（16+10）x+160将x=代入上式，得S=5000+44当，即=（<1）时，S取得最小值。用心爱心专心116号编辑此时，高x==88cm。宽x=×88=55cm。答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小。说明：本题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力。【例3】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。（98年高考题）分析：由题设条件知：经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。并且由制箱材料60平方米，可知无盖长方体沉淀箱的表面积（除上底面）为60平方米，根据它就可建立关于a、b的等式。将该等式求出b后代入反比例函数中，可得以a为自变量的一元函数，再通过求该函数的最小值可使问题得解。【解】：设y为流出的水中该杂质的质量分数，则y=（k>0，为比例系数）， 4b+2ab+2a=60,∴b=(0
0,b>0)直接用基本不等式得:60=4b+2ab+2a≥2ab+2,令=t,则2t2+4t-60≤0－5≤t≤3即ab≤18,∴y=≥.当且仅当即时取到最大值。三、利用均值不等式求最值的函数模型【例4】现有一个半径为R的木球，将它加工成一个圆锥，试求圆锥的最大体积。分析：为了达到加工的圆锥体积最大，它首先应该是球的内接圆锥。作圆锥的轴截面，如图所示。根据相交弦定理可得r2=h（2R－h），从而可用圆锥的高h为自变量建立圆锥体积V的函数关系式，函数的最值就是圆锥的最大体积。【解】：设圆锥的高度为h，底面半径为r，则有：r2=h（2R－h），用心爱心专心116号编辑2ABooab2R-hrrhV圆锥=πr2h=πh2（2R－h）=[h·h·(4R-2h)]≤,等号当且仅当h=4R/3时达到,圆锥取到最大体积说明:在应用均值不等式求最值时,要注意以下三个环节：一正、二定、三相等。在本例...
