抛物线的几何性质（２）教学目标（1）灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；（2）会处理抛物线与直线、圆等曲线组合的综合问题；（3）会证明抛物线的简单几何性质．教学重点，难点抛物线的几何性质，以及抛物线与直线的位置关系．教学过程一．问题情境1．情境：复习回顾：抛物线的定义及几何性质．二．学生活动练习：①抛物线的顶点坐标是，焦点坐标是，准线方程是，离心率是1，通径长．②抛物线上的两点、到焦点的距离之和为5，则线段的中点的横坐标是2．③顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，截直线所得的弦长为，求抛物线的方程．(答案：或)解：设抛物线的方程为．由消去，得．则,解得或．设方程(1)的两根为，则，．由题知，弦长用心爱心专心，即，解得或．因此所求的抛物线方程为或．三．数学运用1．例题：例1．斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于两点,求线段的长．解：法一如练习③法二设直线方程为，，则由抛物线定义得，又是抛物线与直线的交点，由得，则，所以．焦点弦的长度．（由学生找出其他三种情况的焦点弦的长度）练习:过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为．例2．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．证明：（法一）设抛物线方程为，则焦点，准线．设以过焦点的弦为直径的圆的圆心，、、在准线上的射影分别是、、用心爱心专心M1M，则，又，∴，即为以为直径的圆的半径，且准线，∴命题成立．（法二）设抛物线方程为，则焦点，准线．过点的抛物线的弦的两个端点，，线段的中点，则，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径．点到准线的距离，∴圆与准线相切．例3．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．解：设正三角形的顶点、在抛物线上，且设点，，则，，又，所以，即，．∵，，，∴．由此可得，即线段关于轴对称．用心爱心专心A因为轴垂直于，且，所以．∵，∴，∴．例4．定长为3的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，求点到轴的最小距离．解：抛物线焦点，准线：，设点、、在准线上的射影分别是、、，设点，则，又，又，，∴，所以，即的最小值是．∴点到轴的最小距离是，当且仅当过点是取得最小距离．四．回顾小结：1．掌握抛物线的几何性质，灵活运用性质解题；2．综合处理抛物线的有关问题，特别是抛物线的弦的问题．用心爱心专心M1M
