抛物线的几何性质（1）教学目标（1）掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程；（2）能由抛物线方程解决简单的应用问题；（3）学会判断抛物线与直线的位置关系；（4）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．教学重点，难点抛物线的几何性质及其运用，以及抛物线与直线的位置关系．教学过程一．问题情境1．情境：(1)练习：若点，点为抛物线的焦点，则使取最小值的抛物线上点的坐标是．（回顾抛物线的四种标准方程）(2)复习椭圆、双曲线的几何性质2．问题：根据抛物线的标准方程可以得到抛物线的哪些几何性质？二．学生活动引导学生由椭圆、双曲线的几何性质，通过类比，寻找抛物线的几何性质．三．建构数学1．范围因为，由方程可知，这条抛物线上的点的坐标满足不等式，所以这条抛物线在轴的右侧；当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以代，方程不变，所以这条抛物线关于轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，．抛物线的主要性质归纳如下：范围在轴的右侧对称性关于轴对称用心爱心专心顶点原点开口方向向右5．通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦奎屯王新敞新疆直接应用抛物线定义，得到通径：奎屯王新敞新疆四．数学运用1．例题：例1．求顶点在原点，焦点为的抛物线的方程，并用描点法画出图形．解：顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线方程可设为．因为焦点为，所以．因此，所求抛物线的方程为．将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得x01234…y04.76.37.88.9…描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分奎屯王新敞新疆说明：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为，反光曲面的顶点到灯口的距离是．由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？（精确到）解：如图2-4-4，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系．设抛物线方程为，灯应安装在其焦点处．在轴上取一点，使，过作轴的垂线，交抛物线于两点，就是灯口的直径，即，所以点坐标为．将点坐标代入方程，解得．它的焦点坐标约为．用心爱心专心因此，灯泡应该安装在距顶点约处．例3．求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程．解：(1)若直线斜率不存在，则过的直线方程为．直线与抛物线只有一个公共点．（2）若直线斜率存在，设为，则过的直线方程为．由方程组消元得：，①当时，得，即直线与抛物线只有一个公共点．②当时，若直线与抛物线只有一个公共点，则，解得．此时直线方程为．综上所述：所求直线方程为或或．说明：直线与抛物线的位置关系，通过对直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来讨论，对于直线与抛物线只有一个公共点的情况，应特别注意平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，但它不是切线，不能用求解，此时应分类讨论．五．回顾小结：1．抛物线的简单的几何性质；2．根据抛物线方程解决简单的应用问题；3．抛物线与直线的位置关系．用心爱心专心
