高中数学平面向量的数量积人教版必修4BVIP免费

平面向量的数量积【考点透视】一、考纲指要1．掌握平面向量的数量积及其几何意义．2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．3．掌握向量垂直的条件．二、命题落点1．试题常常考查平面向量的数量积的概念。向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算．如例1中：a·（b＋c）=a·b＋b·c，而（a·b）c≠a（b·c）。2．利用向量的数量积可以解决向量的夹角问题，利用向量的数量积还可以很方便地解决垂直问题：a⊥ba·b=0，（a，b非零向量），或用x1x2＋y1y2=0表示。当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性。如例1、例3。3．有关模及距离的问题，可以转化到向量的数量积问题来解决。利用两向量的数量积、模及夹角的关系，用公式a·b=|a||b|cosθ，特别地，a·a=a2cos＜a·a＞=a2，由此，可把点积与模长（距离）挂上钩。如例2、例4。4．求一个向量在另一向量上的投影的问题。【典例精析】例1：设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①()()0abccab；②||||||abab；③()()bcacab不与c垂直；④22(32)(32)9||4||ababab中真命题的有（）A．①②B．②③C．③④D．②④解析：① ()abc∥c，()cab∥b，∴()()0abccab．② 三角形两边之差小于第三边，∴||||||abab．用心爱心专心③ [()()]bcacabc()()()()0bcaccabc，∴()()bcacab与c垂直．④(32)(32)abab229664aababb229||4||ab．答案：D．例2：已知向量m=（1,1），向量n与向量m夹角为43，且m·n=－1.（1）求向量n；（2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为2，向量p=)2cos2,(cos2CA，其中A、B、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列。求|n+p|的取值范围；解析：本题的特色是将向量与三角综合，体现了知识的交汇性。要抓住数量积的运算律理解数量积的求值，并根据数量积的运算性质和坐标运算处理有关垂直问题，用向量的有关公式进行逐步翻译．（1）设(,),1,1.nxymnxy��由可得①m与n夹角为43，有m·n=|m|·|n|·43cos，所以22||1,1.nxy则②由①②解得).1,0()0,1(.1,00,1nnyxyx或即或（2）由qn与垂直知)1,0(n，由2B=A+C知B=3，22,0.33ACA若),cos,(cos)12cos2,(cos),1,0(2CACApnn则2221cos21cos2||coscos221411[cos2cos(2)]1cos(2).2323ACnpACAAA��,21)32cos(1,35323,320AAA用心爱心专心2115151cos(2),||[,),223424Anp��即25||[,).22np��在第（２）小题中，应用的三角公式较多，这似乎应当寻找联系，产生一定的条件反射．如：遇到高次想降次，即公式21cos2cos2．解题后反思：思维的入手点，解题思维的障碍点，解题思维的开窍点．例3：（2004·湖北）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值.解析：本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，解题思维的入手点是在“Rt△ABC中”，据此进行翻译和转化．,0.,,,()()ABACABACAPAQBPAPABCQAQACBPCQAPABAQAC���.cos2121)(222222aaBCPQaBCPQaACABAPaAPABACAPaACABAQABACAPAQAP.0.,)(0,1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算．具体应用时可根据已知条件的特征来选择．例4：（2002·天津文）已知两点M（－1，0），N（1，0），且点P使,MNMP,PNPMNPNM成公差小于零的等差数列.用心爱心专...