平面向量数量积的运算律【知识与技能】1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【过程与方法】平面向量数量积运算规律类似与代数式运算的运算律，但要注意（ａ·ｂ）·с=ａ·（ｂ·с）不成立；代数式运算中的平方公式与平方差公式在平面向量数量积运算中仍然成立它们是平面向量数量积运算重要的工具，要熟记并能熟练运用.一、教学目标1．掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；2．掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；3．了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4．通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；5．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识二、教学重点平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；教学难点平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.三、教学过程1．设置情境上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？2．探索研究（1）复习巩固：①什么叫做两个向量的数量积？答：（与向量的数量积等式的模与在的方向上的投影的乘积）②向量的数量积有哪些性质？答：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）向量的数量积满足哪些运算律？交换律：分配律：问：这个式子成立吗？（由学生自己验证）用心爱心专心116号编辑答：，因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。（3）例题分析【例1】求证：（1）（2）分析：本例与多项式乘法形式完全一样。证：注：（其中、为向量）答：一般不成立。【例2】已知，，与的夹角为，求.解： 注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.【例3】已知，且与不共线，当且仅当为何值时，向量与互相垂直．分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？生：解：与互相垂直的充要条件是即 ∴∴∴当且仅当时，与互相垂直．练习题：已知，为非零向量，与互相垂直，与互相垂直，求与的夹角．【例4】，为非零向量，当的模取最小值时，①求的值；②求证：与垂直．（2）解答：①由当时最小；② ∴与垂直.3．总结提炼用心爱心专心116号编辑（l）（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立．（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件．（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律．四、板书设计【补充例题】例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②两式相减：2ab=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为，则cos=∴=60例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD中，，，=∴||2=而=∴||2=∴||2+||2=2=例3四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面： ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋2с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝0，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量...
