实际问题的函数建模-备课资源多项式模型和拉格朗日插值法设通过n次检测，得到一系列的数据资料．i123…nxix1x2x3…xnyiy1y2y3…yn其中i表示检测序号，xi为变量x在第i次检测中的数值，yi则为变量y相应的数值．根据这些数据如何建立一种最佳的形式表达变量x和y的函数关系呢？一般说来，根据n对数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）可以确定一个（n－1）次多项式模型：y＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋an－1xn－1．以某地在1890～1990年100年间人口资料为例．以20年作为一个单位，x表示从1890年以来的单位数，该地的人口数P（x）可以假设为一个4次多项式：P（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4．将数据代入，得到一个五元一次方程组．通过计算，得到P（x）的具体表达式其图形如下图所示．借助这一多项式模型，我们可以近似地了解1890年到1970年该地人口数的变化情况．拉格朗日插值法使我们可以更为迅速地建立P（x）的多项式表达式．为简捷起见，仍以这一问题为例加以说明．这一问题中给出了5对数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），其中yi即P（xi）（i＝1，2，…，5）．拉格朗日插值法告诉我们根据这5对数据所建立的多项式函数y＝P（x）的具体表达式为用心爱心专心116号编辑其理由是显然的．右端的第一项中的分式在x＝x2、x3、x4、x5时均为零，而在x＝x1时恰好为1．右端的其他几项在x＝x1时都为零，这样就满足第1对数据（x1，y1）．同理，该多项式满足其他的4对数据．用心爱心专心116号编辑
