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高中数学奥赛辅导系列 函数的基本性质(1)教案VIP免费

高中数学奥赛辅导系列 函数的基本性质(1)教案_第1页
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函数的基本性质(一)基础知识:函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等,在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧妙利用函数及其图象的相关性质,可以使得问题得到简化,从而达到解决问题的目的.例题:1.已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)()A.在区间(-2,0)上单调递增B.在(0,2)上单调递增C.在(-1,0)上单调递增D.在(0,1)上单调递增提示:可用图像,但是用特殊值较好一些.选C.2.设f(x)是R上的奇函数,且f(x+3)=-f(x),当0≤x≤32时,f(x)=x,则f(2003)=()A.-1B.0C.1D.2003解:f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x)∴f(x)的周期为6f(2003)=f(6×335-1)=f(-1)=-f(1)=-1选A3.定义在实数集上的函数f(x),对一切实数x都有f(x+1)=f(2-x)成立,若f(x)=0仅有101个不同的实数根,那么所有实数根的和为()A.150B.3032C.152D.3052提示:由已知,函数f(x)的图象有对称轴x=32于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是32,其余100个根可分为50对,每一对的两根关于x=32对称利用中点坐标公式,这100个根的和等于32×100=150所有101个根的和为32×101=3032.选B4.实数x,y满足x2=2xsin(xy)-1,则x1998+6sin5y=______________.解:如果x、y不是某些特殊值,则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程,可以采用配方法(x-sin(xy))2+cos2(xy)=0∴x=sin(xy)且cos(xy)=0∴x=sin(xy)=±1∴siny=1xsin(xy)=1原式=75.已知x=1999是方程x4+bx2+c=0的根,b,c为整数,则b+c=__________.解:(逆向思考:什么样的方程有这样的根?)用心爱心专心1由已知变形得x-9919∴x2-219x+19=99即x2-80=219x再平方得x4-160x2+6400=76x2即x4-236x2+6400=0∴b=-236,c=6400b+c=61646.已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),f(x)=0有实数根,且f(x)=1在(0,1)内有两个实数根,求证:a>4.证法一:由已知条件可得△=b2-4ac≥0①f(1)=a+b+c>1②f(0)=c>1③0<-2ba<1④b2≥4acb>1-a-cc>1b<0( a>0)于是-b≥2ac所以a+c-1>-b≥2ac∴(ac)2>1∴ac>1于是ac+1>2∴a>4证法二:设f(x)的两个根为x1,x2,则f(x)=a(x-x1)(x-x2)f(1)=a(1-x1)(1-x2)>1f(0)=ax1x2>1由基本不等式x1(1-x1)x2(1-x2)≤[41(x1+(1-x1)+x2+(1-x2))]4=(41)2∴216a≥a2x1(1-x1)x2(1-x2)>1∴a2>16用心爱心专心2∴a>47.已知f(x)=x2+ax+b(-1≤x≤1),若|f(x)|的最大值为M,求证:M≥12.解:M=|f(x)|max=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(-2a)|}⑴若|-2a|≥1(对称轴不在定义域内部)则M=max{|f(1)|,|f(-1)|}而f(1)=1+a+bf(-1)=1-a+b|f(1)|+|f(-1)|≥|f(1)+f(-1)|=2|a|≥4则|f(1)|和|f(-1)|中至少有一个不小于2∴M≥2>12(2)|-2a|<1M=max{|f(1)|,|f(-1)|,|f(-2a)|}=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|-24a+b|}=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|-24a+b|,|-24a+b|}≥14(|1+a+b|+|1-a+b|+|-24a+b|+|-24a+b|)≥14[(1+a+b)+(1-a+b)-(-24a+b)-(-24a+b)]=21(2)42a≥12综上所述,原命题正确.8.⑴解方程:(x+8)2001+x2001+2x+8=0⑵解方程:22(1)22224121(1)1xxxxx⑴解:原方程化为(x+8)2001+(x+8)+x2001+x=0即(x+8)2001+(x+8)=(-x)2001+(-x)构造函数f(x)=x2001+x原方程等价于f(x+8)=f(-x)用心爱心专心3而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x+8=-xx=-4为原方程的解(2)两边取以2为底的对数得2222222222222222222222241log(1)1(1)1log(241)log(1(1)1)21log(241)2log(1(1)1)(1)()log(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxx即即构造函数于是f(2x)=f(x2+1)...

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