高中数学奥赛系列辅导资料 函数通行训练题教案VIP免费

函数通性训练题【能力训练】A级选择题★★1．若a＞0，a≠1，F(x)是一奇函数，则)211a1F(x)(G(x)x是（）（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）奇偶性与a有关★★2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当x∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[-2，0]时，f(x)的解析式是（）（A）f(x)=x+4(B)f(x)=2-x（C）f(x)=3-|x+1|(D)f(x)=2+|x+1|★★★3．设f(x)，g(x)是定义在（-∞，+∞）上的两个函数，对任意实数x，y满足f(x＋y)+(x－y)=2f(x)g(x),若f(0)=0，但f(x)不恒等于0，则（A）f(x)，g(x)都是奇函数（B）f(x)，g(x)都是偶函数（C）f(x)是偶函数，g(x)是奇函数（D）f(x)是奇函数，g(x)是偶函数。★★4．奇函数y=f(x)有反函数)(fy1x-，函数)(fy1x-在[0，+∞]上是减函数，则上是（）（A）是增函数（B）是减函数（C）有时是增函数，有时是减函数（D）有时是增函数，有时是减函数，有时是常数函数。★★5．函数y=f(x-a)与函数y=f(a-x)的图象间的关系是（）（A）关于y轴对称（B）关于x轴对称（C）关于直线x=2a对称（D）关于直线x=a对称填空题★★6．函数f(x)对一切实数x都满足)21()21(xfxf，并且方程f(x)=0有三个实根，这三个实根的和是________.★★★★7．设奇函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=2，且对任意Rxx21,，都有),f(x)f(x)xf(x2121当x＞0时，f(x)是增函数，则函数)(fy2x－在这间[-3，-2]上的最大值是______.★★8．定义域是实数域的奇函数f(x)，对任意实数x都有f(x)=f(x+2)则f(2)+f(4)+f(6)+…+f(1992)+f(1994)=_____。★★★★9．设函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且单调递增，满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)（1）证明：f(1)=0f(1)=0。（2）求f(4)。（3）若f(x)+f(x-3)≤2，求x的范围。（4）举出一个符合上述要求的函数f(x)。用心爱心专心1B级★★★10．设函数f(x)对任一实数x满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求证：f(x)在[-30，30]上至少有13个零点，且f(x)是以10为周期的函数。★★★★11．函数xsin(x)fsinx(x)f21π和的最小正周期分别为2π和2。证明f(x)=sinx+sinπx不是周期函数。★★★★12．证明：若函数y=f(x)在R上的图解关于点)yA(a,0和直线x=b(b＞a)皆对称，则f(x)为周期函数。★★★★13．设f是一个从实数集R映射到自身的函数，并且对任何x∈R均有|f(x)|≤1，以及).71()61()()4213f(xxfxfxf证明：f是周期函数，即存在一个非零实数C，使得对任何x∈R，成立f(x+C)=f(x).参考答案【能力训练】A级★1．B。，故G(x)是偶数。2．C。当x∈[－2，－1]时，x+4∈[2，3].f(x)=f(x+2·2)=f(x+4)；当x∈[－3，－2]时，由于f(x)为偶函数∴f(x)=－x，∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(x－2)=－(x－2)=－x＋2．3．D。令x=0，f(－y)=－f（y）；又将－y代换成y，f(x－y)+f(x+y)=2f(x)g(－y),∴g(－y)=g(y)4．A。如果一个函数存在反函数，那么它们的单调状况相同。5．D。设a)f(xy)y,(x00－是图象上任意一点，则)],x(2af[aa)f(xy000－－－.;)(),2(00反之也成立的图象上在点xafyyxa6．y=f(x)的图象关于21x对称，其中一根必是21，另两根之和是1212。故所有实根之和是1.5。7．令0,f(0)0,xx21由f(x)为奇函数，且在(0,+∞)上为增函数，故在（－∞，0）上也用心爱心专心2为增函数，且f(2)=f(1+1)=2f(1)=4，用定义易知，)0,()(y2在xf上为增函数。故[-3，-2]上的最大值是.16)2(2f8．f(x)为R上的奇函数，f(0)=0,且f(0)=f(2)=f(4)=…=f(1994)=0，故原式为0。9．（1）取x=1，y=2，得f(2)=f(1·2)=f(1)+f(2).∴f(1)=0（2）f(4)=f(2)+f(2)=2.（3）f(x)+f(x+3)=f[x(x-3)]≤2=f(4)，所以.43,03,41,43x2xxxx＜故＞但（4）可取xlogf(x)2.B级10．f(x)关于x=2和x=7对称。f(4)＝f(2+2)＝f(2－2)＝f(0)＝0,f(10)＝f(7+3)＝f(7－3)＝f(4)＝0，于是（0，10]上至少有两个零点。f(x＋10)＝f(7＋3＋x)＝f(7－3－x)＝f(4－x)＝f(2＋2－x)＝f(2－2＋x)＝f(x)，∴f(x)以10为周期。f(－30)=f(－30＋3×10)=f(0)=0．综上，f(x)在[－30，30]上至少有13个零点。11．反证，若周期为T，则sin（x...