4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tan∓_αtan_β)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan(α＋β))＝eq\f(tanα－tanβ,tan(α－β))－1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(×)(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(√)(5)设sin2α＝－sinα，α∈(eq\f(π,2)，π)，则tan2α＝eq\r(3).(√)11．(2013·浙江)已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，则tan2α等于()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)答案C解析 sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，∴sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝eq\f(5,2).化简得：4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(3,4).故选C.2．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α等于()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)答案B解析由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，等式左边分子、分母同除cosα得，eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)，解得tanα＝－3，则tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4).3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，则sinθ＋cosθ＝________.答案－eq\f(\r(10),5)解析 taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，∴tanθ＝－eq\f(1,3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinθ＝－cosθ，,sin2θ＋cos2θ＝1，))且θ为第二象限角，解得sinθ＝eq\f(\r(10),10)，cosθ＝－eq\f(3\r(10),10).∴sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(10),5).24．(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．答案1解析 f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx，∴f(x)的最大值为1.题型一三角函数公式的基本应用例1(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3(2)若0<α
