盐城市盐阜中学高二年级数学学科导学案执笔人:祁正权审核人:杨绍国2009年11月日§3.1基本不等式的应用第2课时第33课时一、学习目标1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题;3.审清题意,综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题.4.能综合运用函数关系,不等式知识解决一些实际问题.二、理论依据已知yx,都是正数,①如果xy是定值p,那么当yx时,和yx有最小值p2;②如果和yx是定值s,那么当yx时,积有最大值241s三、课前预习解不等式应用问题的一般步骤:(1)(2)(3)(4)四、课堂探究例1(教材90P例3)过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交与,AB两点,当AOB的面积最小时,求直线l的方程.解:点(,0)Aa,(0,)Bb(0,0)ab,则直线l的方程为1xyab,∵直线l过点(1,2),∴121ab,由基本不等式得:12212abab,∴8ab,当且仅当12ab,即2,4ab时,取“”,此时AOB的面积142AOBSab取最小值,∴所求直线l的方格言警句:尺有所短,寸有所长。盐城市盐阜中学高二年级数学学科导学案程为124xy,即240xy.例2(教材90P例4)如图,一份印刷品的排版面积(矩形)为A它的两边都留有宽为a的空白,顶部和底部都留有宽为b的空白,如何选择纸张的尺寸,才能使用纸量最少?解:设排版矩形的长和宽分别是,xy,则xyA.纸张面积为(2)(2)224Sxaybxybxayab244(2)AabAabAab当且仅当22bxay,即,AaAbxyba时,取“”,即S有最小值2(2)Aab,此时纸张长和宽分别是2Aaab和2Abba.答:当纸张长和宽分别是2Aaab和2Abba时,纸张的用量最是少.例3甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度x(千米/时)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元,(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(千米/时)的函数,指出定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?解:(1)由题知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为Sx,全程运输成本为2()SSayabxSbxxxx,所以,函数及其定义域为2()SSayabxSbxxxx,(0,]xc;格言警句:尺有所短,寸有所长。盐城市盐阜中学高二年级数学学科导学案(2)由题知,,,Sabx都为正数,故有()2aSbxSabx,当且仅当abxx,即axb时上式等号成立;若acb,则当axb时,全程运输成本y最小;若acb,当(0,]xc时,有()()[()()]aaaaSbxSbcSbxbcxcxc()()Scxabcxxc∵20,cxabc,∴20abcxabc,∴()()aaSbxSbcxc,当且仅当xc时上式等号成立,即当xc时,全程运输成本y最小.综上:为使全程运输成本y最小,当acb时,行驶速度应为axb;当acb时,行驶速度应为xc.例4四边形ABCD的两条对角线相交于O,如果AOB的面积为4,COD的面积为16,求四边形ABCD的面积S的最小值,并指出S最小时四边形ABCD的形状。解:设,,,OAaOBbOCcODd,AOBCOD,则1sin42AOBSab,1sin162CODScd,11sin()sin22BOCSbcbc,11sin()sin22AODSadad,格言警句:尺有所短,寸有所长。盐城市盐阜中学高二年级数学学科导学案∴SAOBSCODSBOCS11416sinsin22AODSbcad11202sinsin22bcad11202sinsin22abcd20241636,当且仅当bcad时取“”,∴S的最小值为36,此时由bcad得:badc,即OBOAODOC,∴//ABCD,即四边形ABCD是梯形.例5如图,某水泥渠道,两侧面的倾角均为60,横断面是面积为定值S(平方米)的等腰梯形,为使建造该渠道所用的水泥最省,腰长a(米)与底宽b(米)之比应是多少?六、巩固训练七、课堂回顾与作业格言警句:尺有所短,寸有所长。ab60