盐城市盐阜中学高二年级数学学科导学案执笔人：祁正权审核人：杨绍国2009年11月日§3.1基本不等式的应用第2课时第33课时一、学习目标1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、理论依据已知yx,都是正数，①如果xy是定值p，那么当yx时，和yx有最小值p2；②如果和yx是定值s，那么当yx时，积有最大值241s三、课前预习解不等式应用问题的一般步骤:(1)(2)(3)(4)四、课堂探究例1（教材90P例3）过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交与,AB两点，当AOB的面积最小时，求直线l的方程．解：点(,0)Aa，(0,)Bb(0,0)ab，则直线l的方程为1xyab，∵直线l过点(1,2)，∴121ab，由基本不等式得：12212abab，∴8ab，当且仅当12ab，即2,4ab时，取“”，此时AOB的面积142AOBSab取最小值，∴所求直线l的方格言警句：尺有所短,寸有所长。盐城市盐阜中学高二年级数学学科导学案程为124xy，即240xy．例2（教材90P例4）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为A它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？解：设排版矩形的长和宽分别是,xy，则xyA．纸张面积为(2)(2)224Sxaybxybxayab244(2)AabAabAab当且仅当22bxay，即,AaAbxyba时，取“”，即S有最小值2(2)Aab，此时纸张长和宽分别是2Aaab和2Abba．答：当纸张长和宽分别是2Aaab和2Abba时，纸张的用量最是少．例3甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度x（千米/时）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x（千米/时）的函数，指出定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：（1）由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为Sx，全程运输成本为2()SSayabxSbxxxx，所以，函数及其定义域为2()SSayabxSbxxxx，(0,]xc；格言警句：尺有所短,寸有所长。盐城市盐阜中学高二年级数学学科导学案（2）由题知,,,Sabx都为正数，故有()2aSbxSabx，当且仅当abxx，即axb时上式等号成立；若acb，则当axb时，全程运输成本y最小；若acb，当(0,]xc时，有()()[()()]aaaaSbxSbcSbxbcxcxc()()Scxabcxxc∵20,cxabc，∴20abcxabc，∴()()aaSbxSbcxc，当且仅当xc时上式等号成立，即当xc时，全程运输成本y最小．综上：为使全程运输成本y最小，当acb时，行驶速度应为axb；当acb时，行驶速度应为xc．例4四边形ABCD的两条对角线相交于O，如果AOB的面积为4，COD的面积为16，求四边形ABCD的面积S的最小值，并指出S最小时四边形ABCD的形状。解：设,,,OAaOBbOCcODd，AOBCOD，则1sin42AOBSab，1sin162CODScd，11sin()sin22BOCSbcbc，11sin()sin22AODSadad，格言警句：尺有所短,寸有所长。盐城市盐阜中学高二年级数学学科导学案∴SAOBSCODSBOCS11416sinsin22AODSbcad11202sinsin22bcad11202sinsin22abcd20241636，当且仅当bcad时取“”，∴S的最小值为36，此时由bcad得：badc，即OBOAODOC，∴//ABCD，即四边形ABCD是梯形．例5如图，某水泥渠道，两侧面的倾角均为60，横断面是面积为定值S（平方米）的等腰梯形，为使建造该渠道所用的水泥最省，腰长a（米）与底宽b（米）之比应是多少？六、巩固训练七、课堂回顾与作业格言警句：尺有所短,寸有所长。ab60
