§2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e.这个常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F就是圆锥曲线的焦点，定直线l就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足01，抛物线的离心率e=1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线有相同的焦点.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P到两定点是A,B之间的距离的差的绝对值为常数2a,且,那么P点的轨迹为双曲线,故①错，由,得P为弦AB的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e的相互关系.【例2】设曲线有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．用心爱心专心116号编辑【解】（I）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组即有4个不同交点等价于且即又因为所以得的取值范围为（0，（II）由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为因为在上是减函数，所以由知r的取值范围是【例3】设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2=2x－4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x＋1与双曲线C交于A．B两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx＋1，是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A．B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C的焦点在x轴上，然后求双曲线标准方程中的a，b；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A．B关于直线y=ax(a为常数)对称求k值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A．B关于直线y=ax(a为常数)对称．【解】（Ⅰ）由抛物线y2=2x－4，即y2=2(x－)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴∴双曲线c的方程3x2－y2=1（Ⅱ）由∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k，使A．B关于直线y=ax对称，设A(x1，y1)．B(x2，y2)，用心爱心专心116号编辑则由④由②③，有a(x1＋x2)=k(x1＋x2)＋2⑤由④知：x1＋x2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A．B关于直线y=ax对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明；（Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△的面积．若存在，求∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】本小题主要考查平面向量的概，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力..（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以证法二：设点P的坐标为记则由，得用心爱心专心116号编辑ＱyxO1F2FPＱyxO1F2FP②③．证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得，即由，所以（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方...
