平面向量的数量积教案教学目标1.理解掌握平面内两向量夹角的概念及取值范围[0,π].2.理解掌握两个非零向量的数量积(内积)cosθ的定义及其几何意义.3.理解掌握两向量共线、垂直的几何判定.4.理解掌握平面向量数量积的五个重要性质.教学重点和难点重点:本节课是全章的重点内容,所有内容都非常重要,主要有:平面向量夹角的概念;平面向量数量积的定义;平面向量数量积的几何意义;平面向量共线、垂直的判定;平面向量数量积的五个重要性质.难点:对平面向量数量积的定义,平面向量数量积的几何意义,平面向量数量积的五条重要性质的正确理解和掌握.教学过程设计(一)学生阅读课文.阅读思考题:(1)怎样定义平面内两向量的夹角.(2)什么是平面向量的数量积,它的几何意义是什么?(3)怎样应用平面向量的数量积判断两直线的垂直和平行.(4)平面向量的数量积有那些重要性质.(二)教师在学生回答思考题的基础上进行讲评.1.平面向量的夹角:用心爱心专心(1)两向量的夹角:已知非零向量,作,∠AOB=θ,(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角.当θ=0时,与同向;当θ=π时,与反向.(2)两向量的垂直:如果与的夹角是90°,则说与垂直,记作.2.平面向量的数量积:已积两个非零向量和,它们的夹角为θ,把数量|a|·|b|cosθ叫做与的数量积(内积、点积)记作,即cosθ.并且规定零向量与任一向量的数量积为0.(1)两个平面向量的数量积是一个数量,不是向量,它的值等于两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定.(2)两平面向量的数量积与数a与数b的积a·b不同,的数值与向量的夹角有关,而a·b没有这一因素,因之二者有不同之处.如当a≠时,由=0不能推出一定是零向量,这是因为任一与垂直的非零向量即有=0,这与a·b=0,则a=0或b=0不同.又如,已知实数a、b、c,(b≠0)由ab=bc我们可以推出a=c,但对于向量,这种推理是不正确的.并不能一定推出.用心爱心专心即cos=cos这里表示向量与的夹角,表示向量与的夹角,由cos=cos可推得,,推不出.3.两向量共线与垂直的判定两向量共线,若与共线同向,θ=0.则;若与共线反向,θ=π,则重要方法:4.平面向量数量积的几何意义:(1)投影:在cosθ中,cosθ叫做向量在方向上的投影.当θ为锐角时,它是正值,当θ为钝角时,它是负值;当θ=90°时,它是零;当θ=0°时,它是;当θ=180°时,它是-.用心爱心专心(2)的几何意义是:数量积等于的长度与在的方向上的投影cosθ的乘积.5.平面向量数量积的五个重要性质:设,都是非零向量,是与方向相同的单位向量,θ是与的夹角.(1)(提问学生,给出证明)证:(2)证:,向量与的夹角为90°,用心爱心专心=0,即cosθ=0,cosθ=0,θ=90°(3)当与同向时,;当与反向时,.特别地证:与同向,与的夹角为0°.与反向,与的夹角为180°.因与的夹角为0°.即(4)cosθ=.证:∵用心爱心专心这是求两向量夹角时常用的公式.(5)证:.这里|cosθ|≤1.∴在以上这五个性质中,较常用的是:cosθ=同学们要牢牢掌握.(三)学生练习,教师辅导.练习1:课本练习2.解:=8,=6,、夹角60°.·=·cos60°=24.练习2:课本练习3.θ=135°.练习3:课本练习4.用心爱心专心解:△ABC中,=,=.当<0时,、夹角为钝角,△ABC为钝角三角形.当=0时,⊥,△ABC为直角三角形.解:练习5:=4,与的夹角为30°,求与方向上的投影.练习6:已知=-40,=10,=8,求与的夹角θ.(四)教师小结.1.平面向量的数量积,射影.2.平面向量的性质,(2),(3),(4).用心爱心专心(五)作业用心爱心专心