§3.3.2函数的极值与导数（2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一．创设情景观察图3.3-8，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()ht在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大ta附近函数()ht的图像，如图3.3-9．可以看出()ha；在ta，当ta时，函数()ht单调递增，()0ht；当ta时，函数()ht单调递减，()0ht；这就说明，在ta附近，函数值先增（ta，()0ht）后减（ta，()0ht）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，()ht先正后负，且()ht连续变化，于是有()0ha．对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号奎屯王新敞新疆二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.86.5vthtt的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vtht．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地，'()()0vtht．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()fx表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率．在0xx处，'0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()fx在0x附近单调递增；在1xx处，'0()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数()fx在1x附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内是常函数．3．求解函数()yfx单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx的定义域；（2）求导数''()yfx；（3）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()fx的下列信息：当14x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx试画出函数()yfx图像的大致形状．解：当14x时，'()0fx，可知()yfx在此区间内单调递增；当4x，或1x时，'()0fx；可知()yfx在此区间内单调递减；当4x，或1x时，'()0fx，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()yfx图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3fxxx；（2）2()23fxxx（3）()sin(0,)fxxxx；（4）32()23241fxxxx解：（1）因为3()3fxxx，所以，'22()333(1)0fxxx因此，3()3fxxx在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23fxxx，所以，'()2221fxxx当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx单调递增；当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx单调递减；函数2()23fxxx的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)fxxxx，所以，'()cos10fxx因此，函数()sinfxxx在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241fxxxx，所以．当'()0fx，即时，函数2()23fxxx；当'()0fx，即时，函数2()23fxxx；函数32()23241fxxxx的图像如图3.3-5（4）所示．注...
