4.1数系的扩充与复数的引入教学目标（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学过程一．问题情境1．情境：1)数的概念的发展从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程40x有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程320x有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程2xa(0)a永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a时，方程2xa在实数范围内无解．为了使方程2xa(0)a有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：44x为例）2．问题：实数集应怎样扩充呢？二．建构数学1．为了使方程2xa(0)a有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从1引入平方等于1的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i，叫做虚数单位．并作如下规定：①21i；②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i可以与实数b相乘，再同实数a相加得iba．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成abi(,abR)的形式．2．复数概念及复数集C形如abi(,abR)的数叫做复数．全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C来表示，即,,CzzabiabR．显然有N*NZQRC．3．复数的有关概念1)复数的表示：通常用字母z表示，即zabi(,abR)，其中,ab分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数①复数zabi(,abR)，当0b时，z就是实数a．②复数zabi(,abR)，当0b时，z叫做虚数．特别的，当0a，0b时，zbi叫做纯虚数．3)复数集的分类分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：4)两复数相等2如果两个复数abi与cdi（,,,abcdR）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即acabicdibd，（复数相等的充要条件），特别地：000aabib（复数为0的充要条件）．复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．5）两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小．6）复平面的概念复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i，非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成...
