高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质 4.4.3 不同函数增长的差异讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

4.4.2对数函数的图象和性质4.4.3不同函数增长的差异[基础自测]1．函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则()A．f(x)＝lgxB．f(x)＝log2xC．f(x)＝lnxD．f(x)＝xe解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝lnx.答案：C2．若log3a＜0，b＞1，则()A．a＞1，b＞0B．0＜a＜1，b＞0C．a＞1，b＜0D．0＜a＜1，b＜0解析：由函数y＝log3x，y＝x的图象知，0＜a＜1，b＜0.答案：D3．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝3xB．y＝103xC．y＝log2xD．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快，故选A.答案：A4．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，当x∈(2,4]时，u＝4x－x2是减函数．又 y＝log3u是增函数，∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．答案：(0,2]题型一比较大小[教材P133例3]例1比较下列各题中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．【解析】(1)log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5.(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7.(3)loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于1底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．当a＞1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9.构造对数函数，利用函数单调性比较大小．教材反思比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1(1)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a(2)比较下列各组值的大小：①log0.5，log0.6.②log1.51.6，log1.51.4.③log0.57，log0.67.④log3π，log20.8.【解析】(1)a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.(2)①因为函数y＝logx是减函数，且0.5＜0.6，所以log0.5＞log0.6.②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.③因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57.④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.【答案】(1)C(2)①log0.5＞log0.6.②log1.51.6＞log1.51.4.③log0.67＜log0.57.④log3π＞log20.8.(1)选择中间量0和1，比较大小．(2)①②③利用对数函数的单调性比较大小．④用中间量0比较大小．题型二解对数不等式例2(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．【解析】(1) 函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得解得x＞1，即x的取值范围是(1，＋∞)．2(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，当a＞1时，有解得2≤x＜3.当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.综上可得，当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2,3)；当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0且a≠1)中x的取值范围是(1,2]．【答案】(1)(1，＋∞)(2)答案见解析(1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．方法归纳两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.跟踪训练2(1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)．解析：(1)因为log3x＜1＝log33，所以x满足的条件为即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．(2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．因为log1.5(2a)...