4.4.2对数函数的图象和性质4.4.3不同函数增长的差异[基础自测]1.函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则()A.f(x)=lgxB.f(x)=log2xC.f(x)=lnxD.f(x)=xe解析:易知y=f(x)是y=ex的反函数,所以f(x)=lnx.答案:C2.若log3a<0,b>1,则()A.a>1,b>0B.0<a<1,b>0C.a>1,b<0D.0<a<1,b<0解析:由函数y=log3x,y=x的图象知,0<a<1,b<0.答案:D3.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是()A.y=3xB.y=103xC.y=log2xD.y=x3解析:指数函数模型增长速度最快,故选A.答案:A4.函数f(x)=log3(4x-x2)的递增区间是________.解析:由4x-x2>0得0<x<4,函数y=log3(4x-x2)的定义域为(0,4).令u=4x-x2=-(x-2)2+4,当x∈(0,2]时,u=4x-x2是增函数,当x∈(2,4]时,u=4x-x2是减函数.又 y=log3u是增函数,∴函数y=log3(4x-x2)的增区间为(0,2].答案:(0,2]题型一比较大小[教材P133例3]例1比较下列各题中两个值的大小:(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7;(3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1).【解析】(1)log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值.因为底数2>1,对数函数y=log2x是增函数,且3.4<8.5,所以log23.4<log28.5.(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值.因为底数0.3<1,对数函数y=log0.3x是减函数,且1.8<2.7,所以log0.31.8>log0.32.7.(3)loga5.1和loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值.对数函数的单调性取决于1底数a是大于1还是小于1,因此需要对底数a进行讨论.当a>1时,因为函数y=logax是增函数,且5.1<5.9,所以loga5.1<loga5.9;当0<a<1时,因为函数y=logax是减函数,且5.1<5.9,所以loga5.1>loga5.9.构造对数函数,利用函数单调性比较大小.教材反思比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1(1)设a=log2π,b=logπ,c=π-2,则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a(2)比较下列各组值的大小:①log0.5,log0.6.②log1.51.6,log1.51.4.③log0.57,log0.67.④log3π,log20.8.【解析】(1)a=log2π>1,b=logπ<0,c=π-2∈(0,1),所以a>c>b.(2)①因为函数y=logx是减函数,且0.5<0.6,所以log0.5>log0.6.②因为函数y=log1.5x是增函数,且1.6>1.4,所以log1.51.6>log1.51.4.③因为0>log70.6>log70.5,所以<,即log0.67<log0.57.④因为log3π>log31=0,log20.8<log21=0,所以log3π>log20.8.【答案】(1)C(2)①log0.5>log0.6.②log1.51.6>log1.51.4.③log0.67<log0.57.④log3π>log20.8.(1)选择中间量0和1,比较大小.(2)①②③利用对数函数的单调性比较大小.④用中间量0比较大小.题型二解对数不等式例2(1)已知log0.72x<log0.7(x-1),则x的取值范围为________;(2)已知loga(x-1)≥loga(3-x)(a>0,且a≠1),求x的取值范围.【解析】(1) 函数y=log0.7x在(0,+∞)上为减函数,∴由log0.72x<log0.7(x-1)得解得x>1,即x的取值范围是(1,+∞).2(2)loga(x-1)≥loga(3-x),当a>1时,有解得2≤x<3.当0<a<1时,有解得1<x≤2.综上可得,当a>1时,不等式loga(x-1)≥loga(3-x)中x的取值范围为[2,3);当0<a<1时,不等式loga(x-1)≥loga(3-x)(a>0且a≠1)中x的取值范围是(1,2].【答案】(1)(1,+∞)(2)答案见解析(1)利用函数y=log0.7x的单调性求解.(2)分a>1和0<a<1两种情况讨论,解不等式.方法归纳两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①当0<a<1时,可转化为f(x)>g(x)>0;②当a>1时,可转化为0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b=logaab.①当0<a<1时,可转化为f(x)>ab;②当a>1时,可转化为0<f(x)<ab.跟踪训练2(1)满足不等式log3x<1的x的取值集合为________;(2)根据下列各式,确定实数a的取值范围:①log1.5(2a)>log1.5(a-1);②log0.5(a+1)>log0.5(3-a).解析:(1)因为log3x<1=log33,所以x满足的条件为即0<x<3.所以x的取值集合为{x|0<x<3}.(2)①函数y=log1.5x在(0,+∞)上是增函数.因为log1.5(2a)...