空间两点间的距离公式一、教学任务分析1、通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。2、通过推导和应用空间两点间的距离公式，进一步培养学生的空间想象力。3、通过探索空间两点间的距离公式，体会转化（降维）的数学思想。二、教学重点和难点探索和推导空间两点间的距离公式三、教学过程设计1、提出问题请大家来看一下这道题目。如图，正方体棱长为1，．求的长．设问（1）怎么求这两点距离呢？学生练习1分钟左右，教师巡视。发现有的同学构造了一个直角三角形，却发现计算很繁；有的同学还没能构造出直角三角形。我们知道平面上求两点间距离有公式，（2）那么空间两点间距离是否也有公式？我们先请一个同学来回答一下平面两点间距离公式。学生回答。这是我们在平面直角坐标系中得到的平面两点的距离公式。那么对于空间两点距离，我们也可以放在空间直角坐标系中研究。2、猜想公式（3）如已知这两点的距离是多少呢？学生根据平面两点距离公式，猜想空间两点距离。接下来请同学们自己动手尝试证明这个猜想。3、证明公式学生动手尝试，教师巡视，搜集学生的证法。挑选有代表的证明方法拍照投影到屏幕上。并请那些1同学来回答自己的想法。并借助于长方体来说明，学生所画的那些情况相当于长方体的哪些位置。帮助学生理解，使抽象问题变直观、具体。学生所画的图最有可能的情况（1）P、Q两点在YOZ平面内，转化为平面两点距离，过点P、Q作Y轴的垂线，构造直角三角形解决。（2）点P在上底面，点Q在侧面。过点P、Q分别作XOY平面的垂线，垂足分别为M、N,连接MN。在直角梯形PQMN中，过Q作PN的垂线，垂直为H。在RT△PHQ中计算。空间问题转化为平面问题。说明：1、公式对特殊图形也成立。如这两点连线平行于坐标平面。2、还可以在YOZ平面和XOZ平面内作P、Q两点的射影。类比平面内两点间距离公式的推导过程，关键：作射影。平面内：过点向轴作射影，构造直角三角形利用勾股定理解决。空间内：过点向面作射影，构造直角三角形利用勾股定理求解。设计意图：使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程。4、认识公式我们对平面两点距离和空间两点距离作一比较。平面两点距离空间两点距离定义这两点为端点的线段长度公式推导方法构造直角三角形构造直角三角形，构造长方体我们三维解决了，四维、五维怎么样？如则。类比的好处在于，还可以类比出其他东西还可以知道了。25、运用公式现在请同学们解决我们刚开始提出的这个问题。例1：如图，正方体棱长为1，．求的长．解：建立如图所示的空间直角坐标系，易得则.变式1：若Q为对角线的中点，点P在面对角线上运动时，探究的最小值。解：易得设则==当且仅当时等号成立。故的最小值为，此时。变式2：若P为面对角线的中点，点Q在对角线上运动时，探究的最小值。3解：易得设则==当且仅当时等号成立。故的最小值为，此时。变式3：若点P在面对角线上运动，点Q在对角线上运动时，探究的最小值。解：设则==当且仅当时等号成立。故的最小值为，此时，。思考：已知正方体，若点Ｐ在底面ABCD内运动，Ｑ在棱上运动，且，求的中点M的轨迹与正方体相交所围成的表面的面积。设点,由题意可知，故。点M的轨迹是以原点为球心，半径长为1的球面。故所求的表面的面积为。6、小结：4类比，特殊到一般，空间问题转化为平面问题（化归思想）5
