8.1.3向量数量积的坐标运算(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及推得模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题.【知识导学】知识点一向量内积的坐标运算已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝□x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于□它们对应坐标乘积的和．知识点二用坐标表示两向量垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔□x1x2＋y1y2＝0.知识点三向量的长度已知a＝(x1，y1)，则|a|＝□，即向量的长度等于□它的坐标平方和的算术平方根．知识点四两点间的距离如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝□.知识点五两向量夹角的余弦设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝□.【新知拓展】1．关于两个向量垂直的条件已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，如果x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．如果a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0(*)，当x2y2≠0时，(*)式可以表示为＝，即向量(x1，y1)与向量(－y2，x2)平行．对任意的实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．2．不等式|a·b|≤|a||b|的代数形式若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a|＝，|b|＝.由|a·b|≤|a||b|得|x1x2＋y1y2|≤·，当且仅当a∥b，即x1y2－x2y1＝0时取等号．即不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)成立．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＝(1,1)，b＝(－2,2)，则a·b＝0.()(2)若a＝(4,2)，b＝(6，m)且a⊥b，则m＝－12.()(3)若a·b＞0(a，b均为非零向量)，则角〈a，b〉为锐角．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做1(1)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．(2)已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.(3)设a＝(2,0)，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·b＝________.(4)已知a＝(3,4)，则与a垂直的单位向量有____________，与a共线的单位向量有____________．答案(1)(2)2(3)1(4)或或题型一向量的坐标与向量数量积的坐标运算例1已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1) a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又 a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2) a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0b＝0.金版点睛(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．已知a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，求向量b的坐标．解设b＝(x，y)，则∴∴向量b的坐标为.题型二利用向量坐标运算解决垂直问题例2在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求D点坐标．[解]设D点坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，CD＝(x＋3，y＋1)，BC＝(－6，－3)． AD⊥BC，且BC∥CD，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.① CD与BC共线，∴－3(x＋3)＋6(y＋1)＝0.②由①②联立可得点D(1,1)．金版点睛(1)本题利用向量求解时易忽视D在BC上这个条件，从而会感觉条件不够，求点坐标的题在求解过程中需列方程(组)，所以要先设出点D的坐标，再用待定系数法求解．(2)此题是几何中的一个问题，也可用直线方程的知识求解．(3)垂直向量与平行向量的坐标关系①若a⊥b(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行，这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0，当x2y2≠0时，有＝＝k(k为比例系数)．②对于任意实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．例如，向量(3,4)与向量(－4,3)，(－8,6)，(12，－9)，…垂直．如图所示，以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角△AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．2解设点B(x，y)，则OB＝(x，y)，AB＝(x－5，y－2)．因为∠B＝90°，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0，又|AB|＝|OB|，所以x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，即解得或即点B的坐标为或.题型三向量的夹角问题例3已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,...
