高中数学 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

5.2.2同角三角函数的基本关系最新课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.知识点同角三角函数的基本关系式(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.[教材解难]同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23a＝1.(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子tan90°＝不成立．再如：sin2α＋cos2β＝1就不一定恒成立．[基础自测]1．若α为第二象限角，且sinα＝，则cosα＝()A．－B.C.D．－解析： α是第二象限角，∴cosα＝－＝－.答案：A2．已知tanα＝，且α∈，则sinα的值是()A．－B.C.D．－解析： α∈(π，)，∴sinα<0.由tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－.答案：A13．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于()A．－1B．0C．1D．2解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.答案：C4．已知tanα＝－，则的值是________．解析：＝＝＝.答案：题型一利用同角基本关系式求值[经典例题]例1(1)已知sinα＝，求cosα，tanα；(2)已知tanα＝3，求.【解析】(1)因为sinα＝>0，且sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cosα＝＝＝，tanα＝＝；②当α为第二象限角时，cosα＝－＝－，tanα＝－.(2)分子、分母同除以cos2α，得＝.又tanα＝3，所以＝＝.(1)已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的余弦值或正弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos2α，把正弦、余弦化成正切．方法归纳求同角三角函数值的一般步骤(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值．跟踪训练1(1)本例(2)条件变为＝2，求的值．(2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sinα·cosα－5cos2α的值．解析：(1)法一：由＝2，化简得sinα＝3cosα，原式＝＝＝.法二：由＝2得tanα＝3，原式＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝.形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tanα的代数式，从而代入求值．题型二化简三角函数式[经典例题]例2化简：(1)－；(2).2【解析】(1)－＝＝＝＝－2tan2α.(2)＝＝＝1.(1)利用同角基本关系化简．(2)注意1的活用．例如1＋2sin10°cos10°＝sin210°＋cos210°＋2sin210°cos10°＝(cos10°＋sin10°)2方法归纳三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．跟踪训练2(1)化简：；(2)化简：sin2αtanα＋2sinαcosα＋.解析：(1)原式＝＝＝＝1.(2)原式＝sin2α·＋2sinαcosα＋cos2α·＝＝＝.(1)1－sin2130°＝cos2130°，1－2sin130°cos130°＝(sin130°－cos130°)2.(2)式子中的tanα应化为，如果出现分式，一般应通分．题型三利用同角三角函数关系证明[教材P183例7]例3求证＝.【证明】证明1：由cosx≠0，知sinx≠－1，所以1＋sinx≠0，于是左边＝＝＝＝＝右边．所以，原式成立．证明2：因为(1－sinx)(1＋sinx)＝1－sin2x＝cos2x＝cosxcosx，且1－sinx≠0，cosx≠0，所以＝.教材反思证明简单三角恒等式的思路(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．(2)证明左右两边等于同一个式子．3(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．跟踪训...