高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 3 参数方程和普通方程的互化讲义（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学教案VIP专享VIP免费

3．参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．把曲线的普通方程化为参数方程[例1]根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)＋＝1，x＝cosθ＋1，(θ为参数)；(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1，(t为参数)．[解](1)将x＝cosθ＋1代入＋＝1，得y＝2＋sinθ.∴(θ为参数)．这就是所求的参数方程．(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0，得y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，∴(t为参数)．这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时的注意点(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x＝tanθ(θ为参数)，则参数方程为(θ为参数)．1.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为______________．解析：由题意得圆的方程为2＋y2＝，圆心在x轴上，半径为，则该圆的参数方程为(α为参数)，注意α为圆心角，θ为圆弧所对的圆周角，则有α＝2θ，故即(θ为参数)．答案：(θ为参数)将参数方程化为普通方程[例2]将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)．[思路点拨](1)可采用代入法，由x＝1－解出，代入y的表达式；(2)采用三角恒等变换求解．[解](1)由x＝1－得＝1－x，将其代入y＝1＋2得y＝3－2x.因为≥0，所以x＝1－≤1，所以参数方程化为普通方程为y＝3－2x(x≤1)．方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)．(2)由得，①2＋②2得＋＝1(－5≤x≤5，－5≤y≤3)．将参数方程化为普通方程的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．2．参数方程(t为参数)化为普通方程为()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1去掉(0,1)点C．x2＋y2＝1去掉(1,0)点D．x2＋y2＝1去掉(－1,0)点解析：选D结合题意，x2＋y2＝2＋2＝1，x＝＝－1＋≠－1，故选D.3．已知曲线的参数方程为(θ为参数)，则曲线的普通方程为()A．y2＝1＋xB．y2＝1－xC．y2＝1－x(－≤y≤)D．以上都不对解析：选C因为y＝cosθ－sinθ＝cos，所以y∈[－，]，由y2＝1－2sinθcosθ＝1－sin2θ，得y2＝1－x，y∈[－，]，故选C.一、选择题1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为()A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)解析：选C方程可化为y＝x－2，x∈[2,3]，y∈[0,1]，故选C.2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是()A．直线B．圆C．线段D．射线解析：选Cx＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，∴x＋y＝1(x∈[0,1])为线段．3．曲线(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上解析：选B将(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y＝－2x上，故选B.4．已知曲线C：(t为参数)，A(－1,0)，B(1,0)，若曲线C上存在点P满足AP―→·BP―→＝0，则实数a的取值范围为()A.B．[－1,1]C．[－，]D．[－2,2]解析：选C设P(x，y)， A(－1,0)，B(1,0)，点P满足AP―→·BP―→＝0，∴P的轨迹方程是x2＋y2＝1，表示圆心为(0,0)，半径为1的圆．曲线C：(t为参数)化成普通方程为x－y＋a＝0，由题意知，圆心(0,0)到直线x－y＋a＝0的距离d＝≤1，∴－≤a≤.二、填空题5．x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________．解析：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化成标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，表示圆心为(－1,2)，半径为2的圆，故参数方程为(θ为参数)．答案：(θ为参数)6．直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．解析：(t为参数)化为普通方程为x＋y...