高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念讲义（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学教案VIP专享VIP免费

1．参数方程的概念1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t(θ，φ，…)的函数：①，并且对于每一个t的允许值，方程组①所确定的点(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数的意义参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．参数方程表示的曲线上的点[例1]已知曲线C的参数方程为(t为参数)．(1)判断点A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线C的位置关系；(2)若点F(10，a)在曲线C上，求实数a的值．[解](1)把点A(1,0)的坐标代入方程组，解得t＝0，所以点A(1,0)在曲线上．把点B(5,4)的坐标代入方程组，解得t＝2，所以点B(5,4)也在曲线上．把点E(3,2)的坐标代入方程组，得到即故方程组无解，所以点E不在曲线上．(2)因为点F(10，a)在曲线C上，所以解得或所以a＝±6.参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．1．已知点M(2，－2)在曲线C：(t为参数)上，则其对应的参数t的值为________．解析：由t＋＝2，解得t＝1.答案：12．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)．点M(5,4)在该曲线上，求常数a.解： 点M(5,4)在曲线C上，∴解得∴a的值为1.求曲线的参数方程[例2]如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．[思路点拨]解决此类问题关键是参数的选取．本例中由于A，B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数，或以角为参数，此时不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解．[解]法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)． |OA|＝，∴|BQ|＝.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0＜t＜a)．法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．取∠QBP＝θ，θ为参数，则∠ABO＝－θ.在Rt△OAB中，|OB|＝acos＝asinθ.在Rt△QBP中，|BQ|＝acosθ，|PQ|＝asinθ.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．(2)选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．3．设飞机以v＝150m/s作水平匀速飞行，若在飞行高度h＝490m处投弹，求炸弹离开飞机后的轨迹方程(设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(g＝9.8m/s2)解：如图，A为投弹点，坐标为(0,490)，B为目标．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0，设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得(t为参数)，即(t为参数)，这是炸弹飞行曲线的参数方程．一、选择题1．下列方程可以作为x轴的参数方程的是()A.B.C.D.解析：选Dx轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.2．当参数θ变化时，由点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线过点()A．(2,3)B．(1,5)C.D．(2,0)解析：选D当2cosθ＝2，即cosθ＝1时，3sinθ＝0，所以过点(2,0)．3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()A．(2，－7)B.C.D．(1,0)解析：选C将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为()A.B.C.D.解析：选A设(x，y)为所求轨迹上任一点．由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0，得(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2，∴二、填空题5．已知曲线(θ为参数，0≤...