2．1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系考点学习目标核心素养一元二次方程根的判断理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系，并会应用数学运算一元二次方程根与系数的关系会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围数学运算问题导学预习教材P47－P50的内容，思考以下问题：1．如何通过判别式Δ判定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)解的情况？2．一元二次方程的根与系数有什么关系？1．一元二次方程的解集一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．(1)当Δ>0时，方程的解集为{，}；(2)当Δ＝0时，方程的解集为；(3)当Δ<0时，方程的解集为∅．2．一元二次方程根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝．■名师点拨应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：①(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；②＋＝；③|x1－x2|＝.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实数根，则b2－4ac>0.()(2)一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有实数根．()答案：(1)√(2)√下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A．x2＋1＝0B．x2－2x＋1＝0C．x2＋2x＋4＝0D．x2－x－3＝0答案：D若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有实数根，则k的取值范围是________．解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.答案：(－∞，4]已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＋＝________.解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以＋＝＝－2.答案：－2方程根个数的判断及应用已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．【解】Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<.(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝.(3)因为方程有实根，所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤.(4)因为方程无实根，所以Δ<0，即4(1－3k)<0，所以k>.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；(3)当Δ<0时，方程没有实数根．1．不解方程，判断下列方程的实数根的个数．(1)2x2－3x＋1＝0；(2)4y2＋9＝12y；(3)5(x2＋3)－6x＝0.解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为4y2－12y＋9＝0，因为Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，所以原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为5x2－6x＋15＝0，因为Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0，所以原方程没有实数根．2．已知方程x2＋kx＋1＝0(k>0)有实数根，求函数y＝k2＋2k－1的取值范围．解：Δ＝b2－4ac＝k2－4≥0，k≥2(因为k>0)，y＝k2＋2k－1，k∈[2，＋∞)，因为对称轴k＝－1，又因为a＝1>0，所以当k∈[2，＋∞)时且k越来越大时y也越来越大，所以当k＝2时，ymin＝4＋4－1＝7，所以y≥7.注：k∈[2，＋∞)就是k可取得大于等于2的一切实数．直接应用根与系数的关系进行计算若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的两个根，试求下列各式的值：(1)x＋x；(2)＋；(3)(x1－5)(x2－5)；(4)|x1－x2|.【解】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2007，(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2007)＝4018.(2)＋＝＝＝.(3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2007－5×(－2)＋25＝－1972.(4)|x1－x2|＝＝＝＝＝4.在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．1．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求＋的值．解：由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3，所以＋＝＝＝＝10.2．设a，b是方程x2＋x－2019＝0的两个实数根，求a2＋2a＋b的值．解：...
