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高中数学 第二章 第十一课时 平面向量数量积的坐标表示教案 苏教版必修4VIP免费

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第十一课时平面向量数量积的坐标表示教学目标:掌握两个向量数量积的坐标表示方法,掌握两个向量垂直的坐标条件,能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.教学过程:Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积,并对向量已能用坐标表示,如果已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a和b的坐标表示a·b呢?这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示:记a=(x1,y1),b=(x2,y2),∴a=x1i+y1j,b=x2i+y2j∴a·b=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y1j2=x1x2+y1y21.平面向量数量积的坐标表示:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),∴a·b=x1x2+y1y22.两向量垂直的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0[例1]已知a=(1,),b=(+1,-1),则a与b的夹角是多少?分析:为求a与b夹角,需先求a·b及|a||b|,再结合夹角θ的范围确定其值.解:由a=(1,),b=(+1,-1)有a·b=+1+(-1)=4,|a|=2,|b|=2.记a与b的夹角为θ,则cosθ==又 0≤θ≤,∴θ=评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定.[例2]已知a=(3,4),b=(4,3),求x,y的值使(xa+yb)⊥a,且|xa+yb|=1.分析:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想.解:由a=(3,4),b=(4,3),有xa+yb=(3x+4y,4x+3y)又(xa+yb)⊥a(xa+yb)·a=03(3x+4y)+4(4x+3y)=0即25x+24y=0①又|xa+yb|=1|xa+yb|2=1(3x+4y)2+(4x+3y)2=1整理得:25x2+48xy+25y2=11即x(25x+24y)+24xy+25y2=1②由①②有24xy+25y2=1③将①变形代入③可得:y=±再代入①得:x=∴或[例3]在△ABC中,AB=(1,1),AC=(2,k),若△ABC中有一个角为直角,求实数k的值.解:若A=90°,则AB·AC=0,∴1×2+1×k=0,即k=-2若B=90°,则AB·BC=0,又BC=AC-AB=(2,k)-(1,1)=(1,k-1)即得:1+(k-1)=0,∴k=0若C=90°,则AC·BC=0,即2+k(k-1)=0,而k2-k+2=0无实根,所以不存在实数k使C=90°综上所述,k=-2或k=0时,△ABC内有一内角是直角.评述:本题条件中无明确指出哪个角是直角,所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性,同时要注意坐标运算的准确性.[例4]已知:O为原点,A(a,0),B(0,a),a为正常数,点P在线段AB上,且AP=tAB(0≤t≤1),则OA·OP的最大值是多少?解:设P(x,y),则AP=(x-a,y),AB=(-a,a),由AP=tAB可有:,解得∴OP=(a-at,at),又OA=(a,0),∴OA·OP=a2-a2t a>0,可得-a2<0,又0≤t≤1,∴当t=0时,·OP=a2-a2t,有最大值a2.[例5]已知|a|=3,|b|=2,a,b夹角为60°,m为何值时两向量3a+5b与ma-3b互相垂直?解法:(3a+5b)·(ma-3b)=3m|a|2-9a·b+5ma·b-15|b|2=27m+(5m-9)×3×2cos60°-15×4=42m-87=0∴m==时,(3a+5b)⊥(ma-3b).Ⅲ.课堂练习课本P82练习1~8.Ⅳ.课时小结通过本节学习,要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法,掌握两个向量垂直的坐标形式条件,能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.Ⅴ.课后作业课本P83习题6,8,9,102平面向量数量积的坐标表示1.在已知a=(x,y),b=(-y,x),则a,b之间的关系为()A.平行B.不平行不垂直C.a⊥bD.以上均不对2.已知a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b为()A.63B.83C.23D.573.若a=(-3,4),b=(2,-1),若(a-xb)⊥(a-b),则x等于()A.-23B.C.-D.-4.若a=(λ,2),b=(-3,5),a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围为()A.(,+∞)B.[,+∞)C.(-∞,)D.(-∞,]5.已知a=(-2,1),b=(-2,-3),则a在b方向上的投影为()A.-B.C.0D.16.已知向量c与向量a=(,-1)和b=(1,)的夹角相等,c的模为,则c=.7.若a=(3,4),b=(1,2)且a·b=10,则b在a上的投影为.8.设a=(x1,y1),b=(x`2,y`2)有以下命题:①|a|=②b2=③a·b=x1...

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