高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质（第1课时）直线与平面垂直的判定讲义（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案VIP专享VIP免费

第1课时直线与平面垂直的判定[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P64～P67，回答下列问题．(1)如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？提示：垂直关系．所成的角度不变，都为90°.(2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′(如(1)的图)的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？提示：垂直关系，依据是异面直线所成角的定义．得到的结论是：如果一条直线与平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．2．归纳总结，核心必记(1)直线与平面垂直的有关概念①定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.②相关概念：若直线l与平面α垂直，其中直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．③图形语言：(画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直)如图所示．④符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.(2)直线和平面垂直的判定定理①文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．②图形语言：如图所示．③符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.(3)直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．综上，直线与平面所成的角的范围是[0°，90°]．[问题思考](1)直线与平面垂直的定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”，“无数条直线”？提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．(2)线面垂直的判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？提示：用线面垂直的判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的．(3)若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？提示：不一定．若直线l与平面α所成的角是0°角，则l∥α或l⊂α.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)直线与平面垂直的图形语言及符号语言各是什么？；(2)平面与平面垂直的判定定理是什么？怎样用？；(3)直线和平面所成的角是什么样的角？.观察下图中书脊所在直线与桌面的位置关系．[思考1]书脊所在直线与桌面的位置关系是什么？提示：垂直．[思考2]怎样理解直线与平面垂直的定义？名师指津：(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．[思考3]怎样理解直线与平面垂直的判定定理？名师指津：(1)引进判定定理的必要性用线面垂直的定义可以证明线面垂直，但是要说明直线与平面内所有直线都垂直，在实际运用时有困难，所以需要引进一种容易操作，应用广泛的证明方法．(2)关键词“两条相交直线”的理解①虽然平面内直线有无数多条，但它却可以由两条相交直线完全确定．②不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”．实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直．(3)所体现的数学思想直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直．讲一讲1．(1)下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不...