高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.4 数乘向量示范教案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学教案VIP免费

2.1.4向量数乘示范教案\s\up7()教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广与简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着密切的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程；掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.理解数乘向量所表达的几何意义；2．理解并掌握向量的线性运算．教学难点：数乘向量分配律所表达的几何意义．课时安排1课时\s\up7()导入新课思路1.(类比引入)我们知道，平面几何中的全等与平行的问题，与向量加法及其运算律有着密切的联系，在几何中，一个重要问题是研讨图象的“放大”“缩小”和相似性质我们是否也能用向量的某种运算去研究呢？由此展开新课．思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．对问题(1)，学生通过作图1可发现，OC＝OA＋AB＋BC＝a＋a＋a.类似数的乘法，可把a＋a＋a记作3a，即OC＝3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|＝3|a|.同样，由图1可知，图1PN＝PQ＋QM＋MN＝(－a)＋(－a)＋(－a)，即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．显然3(－a)的方向与a的方向相反，3(－a)的长度是a的长度的3倍，这样，3(－a)＝－3a.已知AB(图2)，把线段AB三等分，分点为P，Q，则图2AP＝AB，AQ＝AB，BP＝－AB.由上述分析，我们引出数乘向量的一般定义：定义实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长度|λa|＝|λ||a|.λa(a≠0)的方向当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0(图3)．图3λa中的实数λ，叫做向量a的系数．数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．根据实数与向量的积的定义，我们可以验证数乘向量运算满足下面的运算律．设λ、μ为实数，那么①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.对问题(3)，向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由向量数乘的定义，知a与b共线．反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a与b同方向时，有b＝μa；当a与b反方向时，有b＝－μa.关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条...