2．3.1双曲线及其标准方程1．双曲线(1)定义□平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)双曲线的集合描述设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合□P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．2．双曲线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b.()(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB<0)．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线－＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________．(2)双曲线x2－4y2＝1的焦距为________．(3)(教材改编P55T1)已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．(4)下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x2－＝1；②＋＝1(a<0)；③y2－3x2＝1；④x2cosα＋y2sinα＝1.答案(1)4或12(2)(3)－＝1或－＝1(4)②③④解析(3) a＝5，c＝7，∴b＝＝＝2.当焦点在x轴上时，双曲线方程为－＝1；当焦点在y轴上时，双曲线方程为－＝1.探究1双曲线标准方程的认识例1若θ是第三象限角，则方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是()A．焦点在y轴上的双曲线B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的椭圆[解析]曲线方程可化为＋＝1，θ是第三象限角，则cosθ<0，>0，所以该曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选A.[答案]A拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．【跟踪训练1】若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线答案C解析原方程化为－＝1， k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．探究2双曲线的标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M，N两点；(2)两焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，且过P.[解](1)当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． M，N在双曲线上，∴解得(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)． M，N在双曲线上，∴解得即a2＝9，b2＝16.∴所求双曲线方程为－＝1.(2)由已知可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，代入点P可得－＝1，①又a2＋b2＝25，②由①②联立可得a2＝9，b2＝16，∴双曲线方程为－＝1.[解法探究]例2(1)有没有其他解法呢？解 双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． M，N在双曲线上，则有解得∴所求双曲线方程为－＋＝1，即－＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．(4)得方程：解方程组，将a，b，c(m，n)代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1.由题意，知解得故双曲线的方程为－＝1.(2) 焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)． 双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是－y2＝1.探究3双曲线定义的应用例3如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．[解]双曲线的...
