高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程讲义 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案VIP免费

2.1.2求曲线的方程求曲线方程的一般步骤1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．()(2)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．()(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．(2)直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4，则点P的轨迹方程是________________________________________________________．(3)已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是_________________________________________________________________．答案(1)x2＋y2＝4(2)x＋2y－4＝0(3)8x2＋2x＋8y2－4y－5＝0探究1直接法求曲线方程例1A为定点，线段BC在定直线l上滑动．已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．[解]解法一(直接法)：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设外心P(x，y)， P在BC的垂直平分线上，∴B(x＋2,0)，C(x－2,0)． P也在AB的垂直平分线上，∴|PA|＝|PB|，即＝.化简，得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程．解法二(参数法)：建立坐标系，得A(0,3)．设BC边的垂直平分线的方程为x＝t，①则点B的坐标为(t＋2,0)，于是AB的中点是.从而AB的垂直平分线方程为y－＝.②由①②式消去t，得x2－6y＋5＝0，即为所求．拓展提升求曲线方程分直接法和间接法，直接法的步骤如下：①建立适当坐标系；②设出动点坐标M(x，y)；③写出动点M满足的条件等式；④将条件等式坐标化；⑤验证满足所求方程的点是否均在曲线上．【跟踪训练1】已知在直角三角形ABC中，∠C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．解如图，设C(x，y)，则AC＝(x＋1，y)，BC＝(x－1，y)． ∠C为直角，∴AC⊥BC，即AC·BC＝0.∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0，化简得x2＋y2＝1. A，B，C三点要构成三角形，∴A，B，C三点不共线，∴y≠0.∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．探究2定义法求曲线方程例2已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．[解]如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ.设M为OC的中点，则M的坐标为. ∠OPC＝90°，∴动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得2＋y2＝(0