第三讲柯西不等式与排序不等式一、复习目标掌握柯西不等式的形式以及应用掌握排序不等式以及应用二、课时安排1课时三、复习重难点掌握柯西不等式的形式以及应用掌握排序不等式以及应用四、教学过程（一）知识梳理（二）题型、方法归纳利用柯西不等式证明简单不等式排序原理在不等式证明中的应用利用柯西不等式、排序不等式求最值（三）典例精讲题型一、利用柯西不等式证明简单不等式柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．例1已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4.【规范解答】因为a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，令m＝(，，)，n＝(1,1,1)，则|m·n|2＝(＋＋)2，|m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)]＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48.∵|m·n|2≤|m|2·|n|2，∴()＋＋)2≤48，∴＋＋≤4.[再练一题]1．设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证：＋≥.【证明】∵a，b，x，y都大于0，且x＋y＝a＋b.由柯西不等式，知[(a＋x)＋(b＋y)]≥2＝(a＋b)2.又a＋x＋b＋y＝2(a＋b)>0，所以＋≥.题型二、排序原理在不等式证明中的应用应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．例2已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≤＋＋.【规范解答】由于不等式关于a，b，c对称，可设a≥b≥c>0.于是a2≥b2≥c2，≥≥.由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·，及a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．[再练一题]2．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.【证明】不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4.又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．例3设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．【规范解答】由于a，b，c为正实数，根据柯西不等式，知(a＋2b＋3c)＝[()2＋()2＋()2]≥2＝(＋＋)2，∴(＋＋)2≤，即＋＋≤，当且仅当＝＝时取等号．又a＋2b＋3c＝13，∴当a＝9，b＝，c＝时，＋＋取得最大值为.[再练一题]3．已知实数a，b，c，d，e满足a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求a＋b＋c＋d＋e的最大值.【解】a＋b＋c＋d＋e＝≤≤＝4，所以a＋b＋c＋d＋e的最大值是4.（四）归纳小结利用柯西不等式证明简单不等式排序原理在不等式证明中的应用利用柯西不等式、排序不等式求最值（五）随堂检测1．已知关于x的不等式|x＋a|0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．【解】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是.3．已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是()A．2B.C.D．4【解析】∵4＝lgx＋lgy≥2，∴lgx·lgy≤4.【答案】D4．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是()A．2B.C．6D．12【解析】(＋)2＝(1×＋1×)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．故选D.【答案】D5．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}中的最大项是()A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项【解析】an＝＝≤＝，当且仅当n＝，即n＝3时等号成立．又n∈N＋，检验可知选D.【答案】D五、板书设计利用柯西不等式证明简单不等式排序原理在不等式证明中的应用利用柯西不等式、排序不等式求最值六、作业布置本课单元检测七、教学反思
