3.1.2空间向量的数乘运算1．空间向量的数乘运算(1)定义：□实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0方向□相同λa的模是a的模的□|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向□相反(3)空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，则有：①分配律：λ(a＋b)＝□λa＋λb.②结合律：λ(μa)＝□(λμ)a.2．共线向量与共面向量(1)共线(平行)向量(2)共面向量1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．()(3)如果OP＝OA＋tAB，则P，A，B共线．()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.(2)已知b＝－5a(|a|＝2)，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________．(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则x＝______，y＝______.(4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB＋(BD＋BC)等于________．答案(1)－(2)10相反(3)1(4)AG解析(4)AB＋(BD＋BC)＝AB＋×(2BG)＝AB＋BG＝AG.探究1空间向量的数乘运算例1已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．(1)OQ＝PQ＋yPC＋zPA；(2)PA＝xPO＋yPQ＋PD.[解](1)如图， OQ＝PQ－PO＝PQ－(PA＋PC)＝PQ－PC－PA，∴y＝z＝－.(2) O为AC的中点，Q为CD的中点，∴PA＋PC＝2PO，PC＋PD＝2PQ，∴PA＝2PO－PC，PC＝2PQ－PD，∴PA＝2PO－2PQ＋PD，∴x＝2，y＝－2.拓展提升利用向量的线性运算求参数的技巧利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．【跟踪训练1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：A1O－AB－AD；(2)设E是棱DD1上的点，且DE＝DD1，若EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试求实数x，y，z的值．解(1)A1O－(AB＋AD)＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A.(2)连接AE，则EO＝AO－AE＝(AB＋AD)－AD－AA1＝AB－AD－AA1，∴x＝，y＝－，z＝－.探究2共线向量例2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F在对角线A1C上，且A1F＝FC.求证：E，F，B三点共线．[证明]连接EF，EB，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c. A1E＝2ED1，A1F＝FC，∴A1E＝A1D1，A1F＝A1C.∴A1E＝AD＝b，A1F＝(AC－AA1)＝(AB＋AD－AA1)＝a＋b－c.∴EF＝A1F－A1E＝a－b－c＝.又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－b－c＋a＝a－b－c，∴EF＝EB，∴E，F，B三点共线．[条件探究]将例2的条件改为“O为A1C上一点，且A1O＝A1C，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线．证明连接AO，AC1，A1C1. A1O＝A1C，∴AO＝AA1＋A1O＝AA1＋A1C＝AA1＋(A1A＋AC)＝AA1＋AC. AC＝2AM，AA1＝AC1＋C1A1＝AC1－AC＝AC1－2AM，∴AO＝(AC1－2AM)＋AM＝AC1＋AM. ＋＝1，∴C1，O，M三点共线．拓展提升1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使PA＝λPB成立．(2)对空间任一点O，有OP＝OA＋tAB(t∈R)．(3)对空间任一点O，有OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．【跟踪训练2】已知向量e1，e2不共线，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线．解设a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(－3e1＋8e2)， e1，e2不共线，∴无解．∴不存在λ，使a＝λb，即a与b不共线．探究3共面向量例3如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面．[证明]因为＝＝＝＝k，所以OE＝kOA，OF＝kOB，OG＝kOC，OH＝kOD.由于四边形ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD...
