3．1.1空间向量及其加减运算1．空间向量(1)定义□在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度□向量的大小叫做向量的长度或□模．(3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：□规定长度为0的向量叫做零向量，记为□0.②单位向量：□模为1的向量称为单位向量．③相反向量：□与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为□－a.④相等向量：□方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□同一向量或□相等向量．2．空间向量的加减法(1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB＝OA＋AB＝□a＋b；CA＝OA－OC＝□a－b.(2)加法运算律①交换律：a＋b＝□b＋a；②结合律：(a＋b)＋c＝□a＋(b＋c)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．()(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．()(3)0向量是长度为0，没有方向的向量．()(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1－AB＋BC化简后的结果是________．(3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式：①AA1－CB＝________.②AB1＋B1C1＋C1D1＝________.③AD＋AB－A1A＝________.(4)(教材改编P86T3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用AB，AD，AA1表示向量MN，则MN＝________.答案(1)球面(2)BD1(3)①AD1②AD1③AC1(4)AB＋AD＋AA1解析(4)MN＝MB＋BC＋CN＝AB＋AD＋(CB＋BB1)＝AB＋AD＋(－AD＋AA1)＝AB＋AD＋AA1.探究1空间向量的概念例1给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤只有零向量的模为0.其中假命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[解析]①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量AC与A1C1的方向相同，模长也相等，应有AC＝A1C1.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．⑤真命题．根据零向量的定义可知．[答案]A拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．(2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】(1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA与向量AB的长度相等．其中正确命题的序号为________．答案④解析①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA≠AB但|BA|＝|AB|，④正确．(2)给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝0，则－a＝0；③|－a|＝|a|，其中正确命题的序号是________．答案②③解析①错误，若|a|＝0，则a＝0；②正确．③正确．探究2空间向量的加减运算例2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量BD1的是()①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1.A．①②B．②③C．③④D．①④[解析]①(A1D1－A1A)－AB＝A1D1＋AA1＋BA＝BD1；②(BC＋BB1)－D1C1＝BC＋BB1＋C1D1＝BC1＋C1D1＝BD1；③(AD－AB)－DD1＝BD＋D1D＝BD－DD1＝BD－BB1＝B1D≠BD1；④(B1D1－A1A)＋DD1＝B1D1＋AA1＋DD1＝B1D1＋BB1＋DD1＝BD1＋DD1...
