高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP免费

3.2.2奇偶性最新课程标准：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.知识点偶、奇函数1．偶函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)．2．奇函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．[教材解难]教材P85思考(1)利用定义判断奇偶性，函数f(x)＝x3＋x的定义域为R，对每一个x，都有f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由奇函数的图象关于原点对称可画出y轴左边的图象．如图所示．(3)我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题．[基础自测]1．设f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中正确的是()A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝0C．f(x)·f(－x)<0D．f(0)＝0解析：由偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，所以f(－x)－f(x)＝0，f(－x)＋f(x)＝0不一定成立．1f(－x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，f(0)＝0不一定成立．故选B.答案：B2．下列函数为奇函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝D．y＝－x2＋14解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为()A．－2B．2C．0D．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．答案：(2)(4)(1)(3)题型一函数奇偶性的判断[教材P84例6]例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5；(3)f(x)＝x＋；(4)f(x)＝.【解析】(1)函数f(x)＝x4的定义域为R.因为∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以，函数f(x)＝x4为偶函数．(2)函数f(x)＝x5的定义域为R.因为∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，所以，函数f(x)＝x5为奇函数．(3)函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}．因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以，函数f(x)＝x＋为奇函数．(4)函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}．因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝＝＝f(x)，2所以，函数f(x)＝为偶函数.奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域，再由奇偶性定义，满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．教材反思函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝解析：(1) x∈R，∴－x∈R.又 f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2) x∈R，∴－x∈R.又 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又 f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．题型二函数奇偶性的图象特征[经典例题]例2设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，...