高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

1．5全称量词与存在量词最新课程标准：(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.知识点一全称量词和全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)”知识点二存在量词和存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃x∈M，p(x)”全称量词命题与存在量词命题的区别(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．知识点三全称量词命题和存在量词命题的否定1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．[教材解难]1．教材P24思考语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．2．教材P25思考(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题．[基础自测]1．下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的正方形不是菱形；④三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，③是存在量词命题，故有三个全称量词命题．答案：D2．下列命题中存在量词命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．A．0B．1C．2D．3解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．答案：D3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．答案：C4．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．解析：该命题是全称量词命题，因为含有量词“任意”，其否定应该是存在量词命题，既要改变量词，又要否定结论，故命题的否定是：“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3题型一全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假[经典例题]例1判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断其真假．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)对顶角相等；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．【解析】(1)(3)(5)是全称量词命题，(1)是假命题， x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(5)是真命题.正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．方法归纳(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．跟踪训练1指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1