导数在研究函数中的应用——单调性【教学目标】1．通过实例，利用几何画板借助函数图象直观地引导学生探索并了解函数的单调性与导数的关系，初步掌握利用导数方法研究函数单调性。2．在整体把握高中数学课程的理念下，通过初等方法与导数方法在研究函数单调性过程中的比较，让学生不断体会导数方法在研究函数单调性中的一般性和有效性。并在原有基础上进一步加深对函数单调性的理解，同时感受和体会数学自身发展的一般规律。3．通过对导数与函数单调性关系的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。同时，着重培养学生的合作、探究、积极努力等核心素养。【教学重点】导数在研究函数单调性中的应用【教学难点】导数与函数单调性关系的探究和发现，以及理论分析。【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习【教学手段】计算机、实物投影仪【教学过程】一、复习回顾，引入课题引言：函数单调性是函数的一个非常重要的性质，刻画了函数值随自变量的变化而的变化情况，进而可以讨论函数的最值或值域，甚至画出函数的图象。因此，今天我们再次来研究函数的单调性。揭示课题：单调性问题：函数单调性是如何定义的？学生：一般地，设函数)(xfy的定义域为A，区间AI如果对于区间I内的任意两个值21,xx，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间。如果对于区间I内的任意两个值21,xx，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy的单调减区间。问题：如何判断函数的单调性？引例：确定函数34)(2xxxf的单调增区间和减区间。学生练习，实物投影仪投影板书。设计意图：以实际数学问题为载体，通过解决问题引导学生复习回顾已掌握的讨论函数单调性的初等方法。学生：(1)图象法：依性作图，以图识性。渗透数形结合思想。(2)定义法：取值、作差、变形、断号、定论。渗透解题的规范意识。教师小结：运用定义或图象讨论函数的单调性都属于初等方法，定义法就是根据函数的单调性定义，用数学符号语言来描述，过程比较严谨；图象法就是利用图形语言来描述，非常直观。当然，我们还有以利用复合函数的性质、函数加减运算的性质等去判断函数的单调性。问题：你们能利用这些初等方法讨论研究所有函数的单调性吗？大家能否找出一些反例?学生：有三次以上的函数、含对数的函数、含三角的函数等。教师：根据同学们的意见，列举其中三个函数：1(1)762)(23xxxf；（2）xxxfln)(；（3）xxxfcos2)(。问题：困难在哪里？学生：作差难以变形，图象难以画出。教师小结：对基本初等函数进行复合或运算后，例如上述函数判断单调性，要么用定义法作差后变形非常困难，要么不能利用已有数学知识快速、准确地画出图象。设计意图：让学生在学习中遇到困难，探究新方法，培养好奇心，引入新课。让学生随意推荐函数，既可以激发学生学习的兴趣，又第一次初步感受导数法研究单调性具有一般性和有效性。二、归纳探索，发现结论1．借助图象，直观感知当今社会科技发达，我们拥有非常先进的信息技术，今天我用几何画板作出上述函数的图形。问题：根据上述连续函数的图象，能判断函数的单调性吗？学生：函数（1）可以，而第（2）、（3）两个函数不能，难以确定单调区间的分点。设计意图：学生的困难是难以确定单调区间分界点的确切位置。通过讨论，使学生感受到即使画出函数图象，用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，还需要寻找其它方法进行严密化、精确化的研究。问题：除了初等方法，还有其它的更为有效的方法来研究这些复杂函数的单调性吗？函数单调性是对函数变化趋势的一种刻画，最近所学的数学知识中还有什么也可以刻画函数变化的趋势？如何刻画的？学生：导数。函数的导数主要刻画了函数在每一点处的瞬时变化率，反映了函数上升或下降的陡峭程度。问题：导数的几何意义是什么？在某区间内，伴随着函数图象切线的变化，导数值具有什么特征时，函数单调递增...
