第一章第四节三角函数的图象与性质第三课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sinx，y＝cosx是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明． 正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sinx|≤1，|cosx|≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y＝sinx(x∈R)，(1)当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.(2)当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.对于余弦函数y＝cosx(x∈R)，(1)当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.(2)当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－，](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来：x－…0……π…sinx－1010－1就是说，函数y＝sinx，x∈[－，]．当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.类似地，同样可得y＝cosx，x∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5引导学生列出下表：x－π…－…0……πcosx－1010－1结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．在R上，y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式： sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，∴y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数．至此，一部分学生...
