同角三角函数的基本关系教材分析:《同角三角函数的基本关系》是高中新教材人教A版必修4第1章1.2.2的内容，本节内容是学习了三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。教学目标：教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及在解决一类三角求值方面的应用教学难点：基本关系式的选取及学生思维灵活性的培养上教学方法：指导讨论、讲练结合等学情分析：这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式:sin2a+cos2a=1及sina/cosa=tana.,并进行初步的应用.由于该节内容比较容易,所以,课堂上无论是关系式的探索还是例题、习题的解决都可以让学生独立完成,即由学生自己把要学的知识探索出来,并用以解决新的问题.必要时,教师可以在以下几点上加以强调:(1)"同角"二字的含义.(2)关系式的适用条件.(3)化简题最后结果的形式.(4)怎样优化解题过程.教学设计：一、创设情境教师出示问题:上一节内容,我们学习了任意角α的三个三角函数及正弦线、余弦线和正切线,你知道它们之间有什么联系吗?你能得出它们之间的直接关系吗?二．推导同角三角函数基本关系式1．引导学生写出任意角α的三个三角函数,并探索它们之间的关系。1在角α的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离是r(r>0),则角α的三个三角函数值是:sina=y/r;cosa=x/y;tana=y/x.2．引导学生通过观察、分析和讨论,消元(消去x,y,r),从而获取下述基本关系(1)平方关系:sin2a+cos2a=1.(2)商数关系:sina/cosa=tana.说明:①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时,部分学生可能会利用三角函数线,借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论.对于这种推导方法,教师也应给以充分肯定,并进一步引导学生得出|sinα|+|cosα|≥1.②除以上两个关系式外,也许部分学生还会得出其它关系式，但最基本的还是(1)和(2),故为了减少大家的记忆负担,只须记住(1)和(2)即可.以上关系式均为同角三角函数的基本关系式.教师启发:(1)对"同角"二字,大家是怎样理解的?(2)这两个基本关系式中的角α有没有范围限制?(3)自然界的万物都有着千丝万缕的联系,大家只要养成善于观察的习惯,也许每天都会有新的发现.刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式,那么这些关系式能用于解决哪些问题呢?3．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2a+cos2a=1.(2)商数关系:sina/cosa=tana.4.变式sin2a=1-cos2acos2a=1-sin2asina=cosatana5．应用举例例1:已知sina=4/5且a是第二象限的角，求角a的余弦值和正切值．先由学生独立思考后，由一学生起来回答其解题思路，教师板书配合，培养学生解题规范的习惯。解：因为sin2a+cos2a=1,所以cos2a=1-sin2a=1-(4/5)2=9/25,又因为α是第二象限角,所以cosa=-3/5;tana=sina/cosa=-4/3.提出问题：例题中已知角的正弦值，可以求出另外的两个三角函数值，那如果知道角的正切值，能不能求出另外的两个三角函数值呢？学生思考、回答。教师小结已知一个角的正弦值，求另外两个三角函数值的方法（知一求二）．2例2.已知tanα=-3/4,且α是第二象限角,求角α的正弦和余弦值.本题也是关系式的基本应用,应让学生独立完成.可选两名同学到黑板前板书,以便规范解题步骤.，老师做最后点评。变式1：在例2中若去掉"且α是第二象限角"这一条件，该题的解答过程又将如何?（师生一起完成该题的解答过程.）解:由题意和基本关系式,列方程组得：sin2a+cos2a=1①tanα=-3/4②由②,得sinα=-3/4cosα,代入①整理,得10cos2α=16,cos2α=16/25因为tanα=-<0,所以角α是第二或第四象限角.当α是第二象限角时,cosα=-4/5,代入②式,得sina=3/5;当α是第四象限角时,cosα=4/5,sina=-3/5.小结:由平方关系求值时,要涉及开方运算,自然存在符号的选取问题.由于本题没有具体指明α是第几象限角,因此,应针对α可能所处的象限,分类讨论.变式2：把例2变为:已知sina+cosa=1/5,0
