高中数学 第8章 统计与概率 8.2 概率 8.2.2 条件概率讲义（含解析）湘教版选修2-3-湘教版高二选修2-3数学教案VIP免费

8．2.2条件概率[读教材·填要点]1．条件概率设A，B是事件，且P(A)>0，以后总是用P(B|A)表示在已知A发生的条件下B发生的条件概率，简称条件概率．2．条件概率的计算公式如果P(A)>0，则P(B|A)＝.3．条件概率的性质①P(B|A)∈[0,1]②如果B与C为两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．[小问题·大思维]1．P(B|A)＝P(A∩B)吗？提示：事件(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生，而事件A∩B是指事件A与事件B同时发生，故P(B|A)≠P(A∩B)．2．P(B|A)和P(A|B)相同吗？提示：P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)不同．条件概率的计算[例1]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．[解]设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的基本事件总数为A＝20.事件A所含基本事件的总数为A×A＝12.故P(A)＝＝.(2)因为事件A∩B含A＝6个基本事件．所以P(A∩B)＝＝.(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)＝＝＝.法二：因为事件A∩B含6个基本事件，事件A含12个基本事件，所以P(B|A)＝＝.条件概率的计算方法有两种：(1)利用定义计算，先分别计算概率P(A∩B)和P(A)，然后代入公式P(B|A)＝.(2)利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A，原来的事件B缩小为AB，利用古典概型计算概率：P(B|A)＝.1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(A∩B)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？解：(1)设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图．显然：P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.(2)法一：P(B|A)＝＝.法二：P(B|A)＝＝＝.条件概率的应用[例2]在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．[解]法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.∴P(B|A)＝＝＝＝，P(C|A)＝＝＝.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.∴所求的条件概率为.法二： n(A)＝1×C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5，∴P(B∪C|A)＝.∴所求的条件概率为.利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．2．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生考试中获得优秀”，则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，P(A∩D)＝P(A)，P(B∩D)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＋＝＋＝.故所求的概率为.解题高手妙解题盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[尝试][巧思]本题数据较多，关系有点复杂，可采用列表方法理顺关系，这样不仅过程简单，同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率．[妙解]设事件A：“任取一个球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝...