高中数学 第7章 计数原理 7.4 二项式定理讲义（含解析）湘教版选修2-3-湘教版高二选修2-3数学教案VIP免费

7.4二项式定理第一课时二项式定理及应用[读教材·填要点]1．杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是1，其余的数都是它“肩上”的两个数的和．2．二项式定理对于正整数n，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn.3．二项展开式的通项公式我们称Can－rbr是二项展开式的第r＋1项，其中C称作第r＋1项的二项式系数．把Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)叫做二项展开式的通项公式．[小问题·大思维]1．二项展开式中的字母a，b能交换位置吗？提示：二项展开式中的字母a，b是不能交换的，即虽然(a＋b)n与(b＋a)n结果相同，但(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆，如(a＋b)3的展开式中第2项是3a2b，而(b＋a)3的展开式中第2项是3ab2，两者是不同的．2．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．二项式定理的应用[例1](1)求4的展开式；(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．[解](1)法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)·3＋C·4＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：4＝＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.(1)记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷．(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律及各项的系数．1．(1)求5的展开式；(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解：(1)法一：5＝C(2x)5－C(2x)4·＋C(2x)3·2－C(2x)2·3＋C(2x)·4－C·5＝32x5－80x2＋－＋－.法二：5＝5＝－(1－2x3)5＝－[1－C(2x3)＋C(2x3)2－C(2x3)3＋C(2x3)4－C(2x3)5]＝－＋－＋－80x2＋32x5.(2)原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝(2x＋1－1)5＝(2x)5＝32x5.二项式系数与项的系数问题[例2](1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数．[解](1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·r＝26－rC·(－1)r·x，∴T6＝－12·x.∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为C·(－1)5·2＝－12.(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．解：由通项Tr＋1＝(－1)r·C·26－r·x，知第四项的二项式系数为C＝20，第四项的系数为C·(－1)3·23＝－160.求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．2．已知n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n的值；(2)求展开式中x2的系数．解：(1)n的展开式的通项为Tr＋1＝C·()n－r·r＝rCx.又第6项为常数项，所以当r＝5时，＝0，即n＝2r＝10.(2)由(1)，得Tr＋1＝rCx，令＝2，得r＝2，所以展开式中x2的系数为2C＝.与展开式中的特定项有关的问题[例3](1)6的展开式中，常数项是()A．－B.C．－D.(2)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.B.C．1D．2[解析](1)6展开式的通项Tr＋1＝C(x2)6－rr＝rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常数项为4C＝.(2)依题意，注意到10的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·r＝C·x10－2r，10的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C、C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2.[答案](1)D(2)D求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．3．...