5.1.2数列中的递推学习目标核心素养1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．会利用an与Sn的关系求通项公式．(易错点)1.通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养．2．借助递推公式的应用学习，提升数据分析的素养.古希腊的毕达哥拉斯学派将1,3,6,10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示．把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列{an}．问题：a2与a1，a3与a2，a4与a3之间分别存在怎样的等量关系？1．数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)．拓展：数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式2.数列的前n项和(1)一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．(2)Sn与an的关系an＝1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)递推公式是表示数列的一种方法．()(2)所有的数列都有递推公式．()(3)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.()(4)若数列{an}的前n项和为Sn，则a1＝S1.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材P9例1改编)数列1，，，，…的递推公式可以是()A．an＝B．an＝C．an＋1＝anD．an＋1＝2anC[由题意可知C选项符合，故选C.]3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a2＝________.3[a2＝S2－S1＝4－1＝3.]4．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a2__________.3[因为a1＝－，an＋1＝1－，所以a2＝1－＝1＋2＝3.]由递推关系写出数列的项【例1】(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2019＝2，则a2020＝()A．－B.C．－D.(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为()A．31B．32C．61D．62(1)B(2)A[(1)由anan＋1＝1－an＋1，得an＋1＝，又 a2019＝2，∴a2020＝，故选B.(2) 数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31，故选A.](由递推公式写出数列的项的方法1根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.2若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.3若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.[跟进训练]1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．[解] a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝.故该数列的前5项为1，，，，.已知Sn求通项公式an【例2】(教材P12例3改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.[思路点拨]应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解，注意检验n＝1时a1是否满足an(n≥2)．[解](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.(*)当n＝1时，a1满足(*)式，故an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.(*)当n＝1时，a1不满足(*)式，故an＝(变条件)若把本例(1)中的Sn换为Sn＝2n2－3n＋1，再求{an}的通项公式．[解]当n＝1时，a1＝S1＝2－3＋1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.(*)显然n＝1不满足(*)式，故an＝(已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：1当n＝1时，a1＝S1.2当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.3如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；,如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝.数列的递推公式与通项公式的关系[探究问题]1．在数列{an}中，a1＝3，＝2，照此递推关系，你能写出{an}任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？[提示]按照＝...
