第5章三角函数同角三角函数基本关系和诱导公式的应用【例1】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则＝________.(2)已知f(α)＝.①化简f(α)；②若f(α)＝，且＜α＜，求cosα－sinα的值；③若α＝－，求f(α)的值．[思路点拨]先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．(1)[由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2，则＝＝＝.](2)[解]①f(α)＝＝sinα·cosα.②由f(α)＝sinα·cosα＝可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×＝，又 ＜α＜，∴cosα＜sinα，1即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－.③ α＝－π＝－6×2π＋，∴f＝cos·sin＝cos·sin＝cos·sin＝×＝.1．将本例(2)中“”改为“－”“＜α＜”改为“－＜α＜0”求cosα＋sinα.[解]因为－＜α＜0，所以cosα＞0，sinα＜0且|cosα|＞|sinα|，所以cosα＋sinα＞0，又(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×＝，所以cosα＋sinα＝.2．将本例(2)中的用tanα表示.[解]＝＝＝.1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意应用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．三角函数的图象变换问题【例2】(1)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.B.C．0D．－(1)D(2)B[(1)因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos2＝cos.故选D.(2)y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后得y＝sin＝sin.若该函数为偶函数，2则＋φ＝kπ＋，k∈Z，故φ＝kπ＋.当k＝0时φ＝.故选B.]1．函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法2．对称变换(1)y＝f(x)的图象――――→y＝－f(x)的图象．(2)y＝f(x)的图象――――→y＝f(－x)的图象．(3)y＝f(x)的图象――――→y＝－f(－x)的图象．1．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sinD[函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.]三角函数的性质【例3】(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是()A.B.C.D.(2)已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．3①求f(x)的单调区间；②若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值．[思路点拨](1)先根据函数f(x)是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．(2)①由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求增区间，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求减区间．②先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值．(1)B[因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，所以θ＝，f(x)＝3sin＝3cos2x，令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－≤x≤kπ，可得函数f(x)的增区间为，k∈Z，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为.](2)[解]①由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．② 0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴－≤sin≤1，∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a...
