高中数学 第5章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

5.5.2简单的三角恒等变换学习目标核心素养1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.半角公式(1)sin＝±，(2)cos＝±，(3)tan＝±，(4)tan＝＝＝，tan＝＝＝.1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于()A．－B.C．－D.C[ 180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，又cos2＝，∴cosα＝－.]2．已知cosα＝，α∈，则sin等于()A.B．－C.D.A[由题知∈，∴sin>0，sin＝＝.]3．已知2π＜θ＜4π，且sinθ＝－，cosθ＜0，则tan的值等于________．－3[由sinθ＝－，cosθ＜0得cosθ＝－，∴tan＝＝＝＝＝－3.]化简求值问题【例1】(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于()A.B.C．－D．－(2)已知π<α<，化简：＋.1[思路点拨](1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．(2)1＋cosθ＝2cos2，1－cosα＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．(1)D[ 5π＜θ＜6π，∴∈，∈.又cos＝a，∴sin＝－＝－.](2)[解]原式＝＋. π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，∴原式＝＋＝－＋＝－cos.1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cosα的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．1．已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，求tan.[解]法一： 180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan<0，∴tan＝－＝－＝－2.法二： 180°<θ<270°，即θ是第三象限角，∴sinθ＝－＝－＝－，∴tan＝＝＝－2.三角恒等式的证明【例2】求证：＝sin2α.[思路点拨]法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．[证明]法一：用正弦、余弦公式．左边＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．2左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边，∴原式成立．三角恒等式证明的常用方法1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.2．求证：＝.[证明]左边＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立．恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.[思路点拨]→→→[解](1)f(x)＝cos－2sinxcosx＝cos2x＋sin2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以T＝＝π.(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，因为y＝sint在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)≥sin＝－，得证．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.3．已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；3(2...