5.4.3正切函数的性质与图象学习目标核心素养1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)1.借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养.2.通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.正切函数的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域值域R周期π奇偶性奇函数对称中心，k∈Z单调性在开区间，k∈Z内都是增函数1．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是()A．y＝tanxB．y＝cosxC．y＝tanD．y＝－tanxC[A，D的周期为π，B中函数在上递减，故选C.]2．函数y＝tan的定义域为________．[因为2x－≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z所以函数y＝tan的定义域为.]3．函数y＝tan3x的最小正周期是________．[函数y＝tan3x的最小正周期是.]4．函数y＝tan的单调增区间是________．，k∈Z[令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z即函数y＝tan的单调增区间是，k∈Z.]1有关正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y＝的值域是()A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1，＋∞)(2)函数y＝3tan的定义域为________．(3)函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域为________．[思路点拨]求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(1)B(2)(3)[(1)当－＜x＜0时，－1＜tanx＜0，∴≤－1；当0＜x＜时，0＜tanx＜1，∴≥1.即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，所以函数的定义域为.(3)要使函数y＝＋lg(1－tanx)有意义，则即－1≤tanx<1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为y＝tanx的周期为π，所以所求x的定义域为.]1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠＋kπ，k∈Z.(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.2．解形如tanx＞a的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．函数y＝logtan的定义域是()A.B.C.D.B[由题意tan＞0，即tan＜0，2∴kπ－＜x－＜kπ，∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，故选B.]2．求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．[解]由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)，所以函数的定义域为.设t＝tan，则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，所以原函数的值域是.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】(1)函数f(x)＝tan的周期为________．(2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y＝3xtan2x－2x4；②y＝cos＋tanx.[思路点拨](1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期．(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．(1)(2)，k∈Z[(1)法一：(定义法) tan＝tan，即tan＝tan，∴f(x)＝tan的周期是.法二：(公式法)f(x)＝tan的周期T＝.(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.](3)①定义域为，关于原点对称，又f(－x)＝3(－x)tan2(－x)－2(－x)4＝3xtan2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．②定义域为，关于原点对称，y＝cos＋tanx＝sinx＋tanx，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以它是奇函数．1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：(1)定义法．(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．提醒：y＝tanx，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z.3．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tan＋tan.3[解](1)由得f(x)的定义域为...
