高中数学 第5章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

5.2.1三角函数的概念学习目标核心素养1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2．掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3．掌握公式——并会应用.1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升数学运算素养.1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(2)结论①y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y；②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cosα＝x；③叫做α的正切，记作tan_α，即tanα＝(x≠0)．(3)总结＝tanα(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanα4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．公式一11．sin(－315°)的值是()A．－B．－C.D.C[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝.]2．已知sinα＞0，cosα＜0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角B[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]3．sinπ＝________.[sinπ＝sin＝sin＝.]4．角α终边与单位圆相交于点M，则cosα＋sinα的值为________．[cosα＝x＝，sinα＝y＝，故cosα＋sinα＝.]三角函数的定义及应用[探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα，cosα，tanα为何值？提示：sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．2．sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sinα，cosα，tanα的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．【例1】(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝x，则sinθ＋tanθ的值为________．(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路点拨](1)→(2)→(1)或[因为r＝，cosθ＝，所以x＝.又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝，tanθ＝3，则sinθ＋tanθ＝.当θ为第二象限角时，sinθ＝，tanθ＝－3，则sinθ＋tanθ＝.]2(2)[解]直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.1．将本例(2)的条件“x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？[解]当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝＝，得：sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝2.2．将本例(2)的条件“落在直线x＋y＝0上”改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sinα＋cosα.[解]因为r＝＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，所以2sinα＋cosα＝－＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝＝－，cosα＝＝，所以2sinα＋cosα＝－＋＝－1.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝，cosα＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．三角函数值符号的运用【例2】(1)已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin145°cos(－210°)；②sin...