排列、组合与二项式定理[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]两个计数原理的应用【例1】(1)方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆的个数是________．(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？(1)20[以m的值为标准分类，分五类：第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；第三类：n＝3时，使n>m，n有4种选择；第四类：n＝4时，使n>m，n有3种选择；第五类：n＝5时，使n>m，n有2种选择；所以共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法．](2)[解]用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式；第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．(变条件)若本例(1)的条件“焦点在y轴上”改为“焦点在x轴上”，试求满足条件的椭圆的个数．[解]因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n>0，以m的取值进行分类．当m＝1时，n值不存在；当m＝2时，n可取1，只有1种选择；当m＝3时，n可取1,2，有2种选择；当m＝4时，n可取1,2,3，有3种选择；当m＝5时，n可取1,2,3,4，有4种选择；由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个．应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：1要做什么事；2如何去做这件事；3怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.[跟进训练]1．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．[解](1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种).排列、组合的应用【例2】(1)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？(1)48[①只有1名老队员的排法有CCA＝36种．②有2名老队员的排法有CCCA＝12种．所以共有36＋12＝48种．](2)[解]①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有A＝24种方法．根据分步乘法计数原理，一共有5040×24＝120960种．②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A＝720种方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840种．根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604800种．③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消...
