第2课时二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用学习目标核心素养1．掌握二项式系数的性质及其应用．(重点)2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明．(难点)3．掌握二项式定理的应用．(难点)1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养.2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养.我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数．(a＋b)01(a＋b)111(a＋b)2121(a＋b)31331(a＋b)414641(a＋b)515101051问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？1．二项式系数的性质(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.2．杨辉三角具有的性质(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．(3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数C，C，C，…，C，C，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．()(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．()(3)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.()[答案](1)√(2)×(3)×2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是()A．1B．－1C．215D．315B[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.]3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]4．(教材P32尝试与发现改编)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________．1121133114a41151010516[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.]求展开式的系数和【例1】设(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2021·x2021(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2021的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2021|的值．[思路点拨]先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．[解](1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2021＝(－1)2021＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2021＝32021.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2021)＝－1－32021，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝.(3) Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2021|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021.1．解决二项式系数和问题思维流程2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[跟进训练]1．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.[解](1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8128.二项式系数的性质及应用【例2】已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨]求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解]令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们...
