高中数学 第3章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质教案 新人教A版选择性必修第一册-新人教A版高二全册数学教案VIP专享VIP免费

3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标核心素养1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生数学运算的核心素养．2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养.使用多媒体手段展示大小、扁圆程度等不同的椭圆，体现椭圆形状的美，然后分别从椭圆为封闭曲线，即范围入手讲出椭圆的范围，对称性，离心率等问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？[提示]不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()[提示](1)×(2)√(3)√2．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．－＝1D．－＝1A[由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.]3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，)，则椭圆的标准方程是________．x2＋＝1[依题意得2a＝4b，c＝，又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为x2＋＝1.]4．设椭圆＋＝1(0＜b＜5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心率的值为________．[由条件知2×5＋2c＝4b，即2b＝c＋5，又a2－b2＝c2，a＝5解得b＝4，c＝3.∴离心率e＝＝.]由椭圆方程研究几何性质【例1】(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有()A．相同的焦点B．相同的顶点C．相同的离心率D．相同的长、短轴(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．(1)C[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.](2)[解]把已知方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝4，b＝3，c＝＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝＝；两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．1．本例(1)中把方程“＋＝λ(λ＞0且λ≠1)”改为“＋＝1(λ≠0)”，结果会怎样呢？A[由于a＞b，∴方程＋＝1中，c2＝(a2＋λ)－(b2＋λ)＝a2－b2.焦点与＋＝1(a＞b＞0)的焦点完全相同．而因长轴长，短轴长发生了变化，所以BCD均不对，只有A正确．]2．本例(2)中，把方程改为“16x2＋9y2＝144”，结果又会怎样呢？[解]把方程16x2＋9y2＝144化为标准形式得＋＝1.知椭圆的焦点在y轴上，这里a2＝16，b2＝9，∴c2＝16－9＝7，所以椭圆16x2＋9y2＝144的长轴长为2a＝2×4＝8，短轴长为2b＝2×3＝6，离心率：e＝＝，焦点坐标：，顶点坐标：(0，－4)，(0,4)，(－3,0)，(3,0)．由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.由几何性质求椭圆的方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的...