第3章三角恒等变换第四课三角恒等变换[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]三角函数式求值【例1】(1)已知sin＝－，则cos＝()A．－B．－C.D.(2)4cos50°－tan40°等于()A.B.C.D．2－1(3)已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．(1)C(2)C[(1)cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.(2)4cos50°－tan40°＝＝＝＝＝＝.](3)[解]tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＞0.而α∈(0，π)，故α∈. tanβ＝－，0＜β＜π，∴＜β＜π，∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝＞0，∴－π＜α－β＜－，∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，∴2α－β＝－.三角函数的求值有三种类型：1给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题.2给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝α＋β－β，2α＝α＋β＋α－β等.把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论3给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角.选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是，选择求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范围是0，π，选择求所求角的余弦值；若所求角的范围为，选择求所求角的正弦值.[跟进训练]1．已知－＜x＜0，sinx＋cosx＝.(1)求sin2x和cosx－sinx的值；(2)求的值．[解](1)由sinx＋cosx＝，平方得1＋sin2x＝，所以sin2x＝－，因为－＜x＜0，所以cosx＞sinx，所以cosx－sinx＝＝.(2)＝＝＝sin2x·＝－×＝－.三角函数式化简【例2】化简：(1)(0＜θ＜π)；(2)·.思路点拨：(1)使用倍角公式化简．(2)切化弦．[解](1)原式＝＝＝.因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，所以原式＝－cosθ.(2)原式＝·＝·＝·＝.三角函数式的化简要遵循“三看”原则1一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.3三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.[跟进训练]2．化简：.[解]原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.三角恒等式的证明【例3】求证：tan2x＋＝.[证明]左边＝＋＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．原式得证．三角恒等式的证明问题的类型及策略1不附加条件的恒等式证明.,通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.2条件恒等式的证明.这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.[跟进训练]3．已知sin(2α＋β)＝5sinβ，求证：2tan(α＋β)＝3tanα.[证明]由条件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα，整理得：4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα，两边同除以2cos(α＋β)cosα得：2tan(α＋β)＝3tanα.三角恒等变换的综合应用【例4】已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．思路点拨：(1)利用向量共线的坐标表示求值；(2)利用向量数量积的坐标表示列出三角函数关系式再求最值．[解](1)因为a∥b，所以3sinx＝－cosx，若(cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0，所以tanx＝－，因为x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝3cosx－sinx＝－2sin.因为x∈[0，π]，所以x－∈，所以－≤sin≤1，所以－2≤f(x)≤3，当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2.利用三角恒等变换研究性质问题的策略,先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根...
