第3章三角恒等变换第四课三角恒等变换[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]三角函数式求值【例1】(1)已知sin=-,则cos=()A.-B.-C.D.(2)4cos50°-tan40°等于()A.B.C.D.2-1(3)已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.(1)C(2)C[(1)cos=cos=1-2sin2=1-2×2=.(2)4cos50°-tan40°======.](3)[解]tanα=tan[(α-β)+β]==>0.而α∈(0,π),故α∈. tanβ=-,0<β<π,∴<β<π,∴-π<α-β<0.而tan(α-β)=>0,∴-π<α-β<-,∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]==1,∴2α-β=-.三角函数的求值有三种类型:1给角求值:一般所给的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角之间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数问题.2给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如:α=α+β-β,2α=α+β+α-β等.把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角范围的讨论3给值求角:实质上是“给值求值”,一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值,然后确定所求角的范围,最后求出角.选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函数名称,以便于角的确定,例如,若所求角的范围是,选择求所求角的正弦或余弦值均可;若所求角的范围是0,π,选择求所求角的余弦值;若所求角的范围为,选择求所求角的正弦值.[跟进训练]1.已知-<x<0,sinx+cosx=.(1)求sin2x和cosx-sinx的值;(2)求的值.[解](1)由sinx+cosx=,平方得1+sin2x=,所以sin2x=-,因为-<x<0,所以cosx>sinx,所以cosx-sinx==.(2)===sin2x·=-×=-.三角函数式化简【例2】化简:(1)(0<θ<π);(2)·.思路点拨:(1)使用倍角公式化简.(2)切化弦.[解](1)原式===.因为0<θ<π,所以0<<,所以cos>0,所以原式=-cosθ.(2)原式=·=·=·=.三角函数式的化简要遵循“三看”原则1一看“角”,一般化异角为同角,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;2二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,一般化异名为同名从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.3三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.[跟进训练]2.化简:.[解]原式========2.三角恒等式的证明【例3】求证:tan2x+=.[证明]左边=+=========右边.原式得证.三角恒等式的证明问题的类型及策略1不附加条件的恒等式证明.,通过三角恒等变换,消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简,如果两边都较繁,则采用左右互推的思路,找一个桥梁过渡.2条件恒等式的证明.这类问题的解题思路是使用条件,或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系,常用方法是代入法和消元法.[跟进训练]3.已知sin(2α+β)=5sinβ,求证:2tan(α+β)=3tanα.[证明]由条件得sin[(α+β)+α]=5sin[(α+β)-α],两边分别展开得sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα,整理得:4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα,两边同除以2cos(α+β)cosα得:2tan(α+β)=3tanα.三角恒等变换的综合应用【例4】已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.思路点拨:(1)利用向量共线的坐标表示求值;(2)利用向量数量积的坐标表示列出三角函数关系式再求最值.[解](1)因为a∥b,所以3sinx=-cosx,若(cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0,所以tanx=-,因为x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=3cosx-sinx=-2sin.因为x∈[0,π],所以x-∈,所以-≤sin≤1,所以-2≤f(x)≤3,当x-=-,即x=0时,f(x)取得最大值3;当x-=,即x=时,f(x)取得最小值-2.利用三角恒等变换研究性质问题的策略,先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,然后根...