3.2简单的三角恒等变换学习目标核心素养1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．(重点)3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．(难点、易混点)1.通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算素养.2.通过三角恒等式的证明，提升逻辑推理素养.3.通过三角函数的实际应用，培养数学建模素养.1．半角公式2．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(其中tanθ＝)．1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于()A．－B.C．－D.C[ 180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，∴cos＜0，故应选C.]2．2sinθ＋2cosθ＝()A．sinB．2sinC．2sinD.sinC[原式＝2＝2＝2sin.]3．函数f(x)＝2sinx＋cosx的最大值为．[f(x)＝sin(x＋θ)＝sin(x＋θ)≤.]4．已知2π＜θ＜4π，且sinθ＝－，cosθ＜0，则tan的值等于．－3[由sinθ＝－，cosθ＜0得cosθ＝－，∴tan＝＝＝＝＝－3.]化简求值问题【例1】(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于()A.B.C．－D．－(2)已知π<α<，化简：＋.思路点拨：(1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．(2)1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．(1)D[ 5π＜θ＜6π，∴∈，∈.又cos＝a，∴sin＝－＝－.](2)[解]原式＝＋. π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，∴原式＝＋＝－＋＝－cos.1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cosα的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．[跟进训练]1．已知sinα＝－，π＜α＜，求sin，cos，tan的值．[解] π＜α＜，sinα＝－，∴cosα＝－，且＜＜，∴sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝＝－2.(另tan＝＝＝－2.)三角恒等式的证明【例2】求证：＝sin2α.思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．[证明]法一：用正弦、余弦公式．左边＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边，∴原式成立．三角恒等式证明的常用方法1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.[跟进训练]2．求证：＝.[证明]左边＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】若函数f(x)＝cos4－2sincos－sin4.(1)求f(x)的对称中心和初相；(2)若x∈[0，π]，求函数f(x)的单调递减区间．[解]f(x)＝cos4－2sincos－sin4＝cos2－sin2－sin＝cos－sin＝－sin2x－cos2x＝－sin，(1)由2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z，∴f(x)的对称中心为，k∈Z，又f(x)＝－sin＝sin，∴f(x)的初相为.(2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的递减区间为：，k∈Z，又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递减区间为，.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤↓↓[跟进训练]3．已知函数f(x)＝sin2－sin2＋cos2x，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的值域．[解]f(x)＝sin2－sin2＋cos2x＝－...
