第2章平面向量向量的线性运算如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且AN＝NC，BN与CM相交于点E，设AB＝a，AC＝b，试以a，b为基底表示AE.思路点拨：先由C，E，M三点共线⇒AE＝μAM＋(1－μ)AC，由B，E，N三点共线⇒AE＝λAN＋(1－λ)AB，再由AB，AC不共线求λ，μ的值．[解] AN＝AC＝b，AM＝AB＝a，由N，E，B三点共线知存在实数λ满足AE＝λAN＋(1－λ)AB＝λb＋(1－λ)a.由C，E，M三点共线知存在实数μ满足AE＝μAM＋(1－μ)AC＝a＋(1－μ)b.∴解得∴AE＝a＋b.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.1．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，求＋的值．[解]设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，1PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝a＋b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λa＋λb，则消去λ，得＋＝3.向量的数量积运算设向量OA＝a，OB＝b，且|OA|＝|OB|＝4，∠AOB＝60°.(1)求|a＋b|，|a－b|；(2)求a＋b与a的夹角θ1，a－b与a的夹角θ2.思路点拨：利用|a±b|＝求解；利用cosθ＝求夹角．[解](1) |a＋b|2＝(a＋b)(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×4×4cos60°＋16＝48，∴|a＋b|＝4，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16，∴|a－b|＝4.(2) (a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝16＋4×4cos60°＝24，∴cosθ1＝＝＝. θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°. (a－b)·a＝|a|2－a·b＝16－4×4cos60°＝8，∴cosθ2＝＝＝. θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°.1．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．2．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角．[解] c＝(－2，2)，∴|c|＝4，又a⊥c，∴a·c＝0. b·c＝|b||c|cos＝|b|×4×＝－4，∴|b|＝2.又c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n·b·c，∴16＝－4n，∴n＝－4.又a·c＝ma2＋na·b，∴0＝8m－4a·b.①又b·c＝ma·b＋n·b2，∴ma·b＝12.②由①②得m＝±，∴a·b＝±2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝±， θ∈[0，π]∴θ＝或.向量的应用如图，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.2思路点拨：欲证AD⊥CE，即证AD·CE＝0.由于已有CA·CB＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．[解]法一：记CA＝a，CB＝b，则AB＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|.因为AD＝CD－CA＝b－a，CE＝AE－AC＝(b－a)＋a＝b＋a，所以AD·CE＝·＝b2－a2＝0.可得AD⊥CE.法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，因为D是CB的中点，则D(0,1)．所以AD＝(－2,1)，AB＝(－2,2)．又CE＝CA＋AE＝CA＋AB＝(2,0)＋(－2,2)＝，所以AD·CE＝(－2,1)·＝(－2)×＋＝0，因此AD⊥CE.把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.3.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂线方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况．(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．(3)当|F1|＝2|F2|时，求角θ的值．[解](1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量OA＝F1，OB＝F2，OC＝－G，则OA＋OB＝OC，∴四边形OACB为平行四边形，如图．由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝，∴|OA|＝，|OB|＝|AC|＝|OC|tanθ，即|F1|＝，|F2|＝|G|tanθ，θ∈.由此可知，当θ从0°逐渐增大趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大．(2)当|F1|≤2|G|时，有≤2|G|，∴cosθ≥，又θ∈.∴θ∈.(3)当|F1|＝2|F2|时，＝2|G|tanθ，∴＝，∴sinθ＝.∴θ＝.数形结合思想【例4】已知向量OB＝(2,0)，OC＝(2,2)，CA＝(cosα，sinα)，则OA与OB夹角的范围是________．思路点拨：结合CA...
