§6平面向量数量积的坐标表示学习目标核心素养1.掌握数量积的坐标表达式．(重点)2.能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点)3.了解直线的方向向量的概念．(难点)1.通过学习直线方向向量的概念及数量积的坐标表示，体会数学抽象素养．2.通过求解两向量的夹角及判断两向量的垂直关系，提升数学运算素养．1．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)a2＝x＋y，即|a|＝；(3)设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝；(4)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．思考1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？[提示]能．a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0.2．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．思考2：直线的方向向量唯一吗？[提示]不唯一．因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个．1．已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝()A．－3B．－2C．2D．3C[因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得t＝3，所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C.]2．已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________．2[由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.]3．已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝________.±2[由|a|＝|b|得＝，解得x＝±2.]4．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．[设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.]平面向量数量积的坐标运算【例1】已知向量a和b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.[解](1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0). a·b＝10，∴λ·cos0°＝10，解得λ＝2.∴a＝(2，4).(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，AF＝2FD，则BE·CF＝________．(1)D(2)[(1)2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因为AF＝2FD，所以F.所以BE＝(2，1)，CF＝－(2，0)＝，所以BE·CF＝(2，1)·＝2×＋1×2＝.]向量的夹角及垂直【例2】已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．[解]a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ＜0，且cosθ≠－1，所以a·b＜0，且a与b不反向．由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．所以λ的取值范围为.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ＞0，且cosθ≠1，所以a·b＞0且a，b不同向．由a·b＞0，得λ＞－，由a与b同向得λ＝2.所以λ的取值范围为∪(2，＋∞).1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝进行计算．2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；(3)由公式cosθ＝，计算cosθ的值；(4)在[0，π]内，由cosθ的值确定角θ.2．已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.(1)求|a＋2b|；(2)若(a＋b)·c＝，求向量a与c的夹角．[解](1)a＋2b＝(1，2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，∴|a＋2b|＝＝3.(2) b＝(－2，－4)＝－2(1，2)＝－2a，∴a＋b＝－a，∴(a＋b)·c＝－a·c＝.设a与c的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－. 0≤θ≤π，∴θ＝π，即a与c的夹角为π.向量的模[探究问题]1．由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？[提...
