§4平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示4.3向量平行的坐标表示学习目标核心素养1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)1.通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，提升数学抽象素养．2.通过用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，培养数学运算素养．1．平面向量的坐标表示如图所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj．我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y).思考1：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？[提示]由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．2．平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示(1)平面向量的坐标运算①已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么：(ⅰ)a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)；(ⅱ)a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2)；(ⅲ)λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)．②已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0，0)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．(2)向量平行的坐标表示①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则x1y2－x2y1＝0．若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝．②文字语言描述向量平行的坐标表示(ⅰ)定理若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．(ⅱ)定理若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．思考2：如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？[提示]能．将b写成λa的形式，当λ>0时，b与a同向，当λ<0时，b与a反向．1．若A(2，－1)，B(－1，3)，则AB的坐标是()A．(1，2)B．(－1，－2)C．(－3，4)D．(3，－4)[答案]C2．若向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，则a－b的坐标为()A．(1，5)B．(1，1)C．(3，1)D．(3，5)[答案]C3．已知向量a＝(2，－3)，b＝(3，λ)，且a∥b，则λ＝_____．[答案]－4．已知A(1，2)，B(4，5)，若AP＝2PB，则点P的坐标为________．(3，4)[设P(x，y)，则AP＝(x－1，y－2)，PB＝(4－x，5－y)，又AP＝2PB，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，即所以所以点P的坐标为(3，4).]平面向量的坐标表示【例1】已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD的坐标．[解]如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，)，D，∴AB＝(2，0)，AC＝(1，)，BC＝(1－2，－0)＝(－1，).BD＝＝.1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．1．若已知A(1，2)，B(0，－1)，C(3，k).(1)求AB；(2)若已知AB－BC＝(m，－2)，试求k，m.[解](1) A(1，2)，B(0，－1)，∴AB＝(－1，－3).(2) AB－BC＝(－1，－3)－(3，k＋1)＝.由已知＝(m，－2)，∴m＝－，k＝－.向量平行的坐标表示【例2】已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解]法一：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b).由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4).∴解得k＝λ＝－.当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．法二：由法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.此时ka＋b＝＝－(a－3b)，∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．向量平行的坐标表达式与向量共线定理是对一个问题从数和形两个角度的描述，是有机结合的一个...
