2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学习目标核心素养1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)3.向量的坐标与平面内的点的坐标的区别与联系．(易混点)1.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升学生的数学建模和数学抽象素养.2.通过向量坐标运算，培养学生的数学运算素养.1．平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．2．平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝(λx1，λy1)重要一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝结论终点的坐标减去起点的坐标(x2－x1，y2－y1)思考：向量是可以平行移动的，那么它的坐标与位置有关吗？[提示]向量的坐标只与起点和终点的相对位置有关，是终点坐标减去起点坐标，而与它们的具体位置没有关系．1．已知M(2,3)，N(3,1)，则NM的坐标是()A．(2，－1)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(1，－2)B[NM＝(2,3)－(3,1)＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．]2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4,2)D．(4，－2)D[3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．]3．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．(，)[由题意知a＝(2cos45°i,2sin45°j)＝(i，j)＝(，)．]4．已知A(3，－5)，B(－1,3)，点C在线段AB上，且AC＝3CB，则点C的坐标是________．(0,1)[由AC＝3CB得OC－OA＝3OB－3OC，∴4OC＝OA＋3OB，即OC＝OA＋OB，∴C的坐标为(3，－5)＋(－1,3)＝(0,1)．]平面向量的坐标表示【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝a，AB＝b.四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量BA的坐标；(3)求点B的坐标．[解](1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos45°＝4×＝2，AM＝OA·sin45°＝4×＝2，∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，∴C，∴AB＝OC＝，即b＝.(2)BA＝－AB＝.(3)OB＝OA＋AB＝(2，2)＋＝.∴点B的坐标为.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．[跟进训练]1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示OA，OB，AB，并求出它们的坐标．[解]由图形可知，OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，它们的坐标表示为OA＝(6,2)，OB＝(2,4)，AB＝(－4,2).平面向量的坐标运算【例2】(1)已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：①2a＋3b；②a－3b；③a－b.(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求M，N及MN的坐标．思路点拨：(1)运用向量坐标运算的公式进行求解．(2)法一：设点M，N的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值．法二：用向量线性运算的几何意义直接计算OM，ON的坐标．[解](1) a＝(－1,2)，b＝(2,1)，∴2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2＋6,4＋3)＝(4,7)．a－3b＝(－1...
